如图所示.A.B两小球用轻杆连接.A球只能沿内壁光滑的竖直滑槽运动.B球处于光滑水平面内．开始时杆竖直.A.B两球静止．由于微小的扰动.B开始沿水平面向右运动．已知A球的质量为mA.B球的质量为mB.杆长为L．则:(1)A球着地时的速度为多大?(2)A球机械能最小时.水平面对B球的支持力为多大?(3)若mA=mB.当A球机械能最小时.杆与竖直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图所示，A、B两小球用轻杆连接，A球只能沿内壁光滑的竖直滑槽运动，B球处于光滑水平面内．开始时杆竖直，A、B两球静止．由于微小的扰动，B开始沿水平面向右运动．已知A球的质量为m_A，B球的质量为m_B，杆长为L．则：
（1）A球着地时的速度为多大？
（2）A球机械能最小时，水平面对B球的支持力为多大？
（3）若m_A=m_B，当A球机械能最小时，杆与竖直方向夹角的余弦值为多大？A球机械能的最小值为多大？（选水平面为参考平面）

分析：（1）在运动的过程中，系统机械能守恒，A球着地时，B球的速度为零，根据系统机械能守恒定律求出A球着地时的速度大小．
（2）当A球机械能最小时，B球的速度最大，此时B球的加速度为0，则杆对球的作用力为0．根据平衡求出水平面对B球的支持力大小．
（3）根据系统机械能守恒结合A、B速度的关系求出B的速度与杆与竖直方向夹角的关系，结合数学求导的方法求出B的速度最大时，即A的机械能最小时，杆与竖直方向夹角的余弦值，以及求出A球机械能的最小值．

解答：解：（1）A球着地时，B球的速度为0．
设此时A球速度为v，由系统机械能守恒得 mAgL=

mAv2
解得 v=

2gL

（2）当A球机械能最小时，B球的速度最大，此时B球的加速度为0，则杆对球的作用力为0．
设小球受到的支持力为N，对B球受力分析可得 N=m_Bg
（3）设杆与竖直方向间夹角为θ，B球的速度为v_B，此时A球的速度为v_A，则mAgL(1-cosθ)=

mAvA2+

mBvB2
且v_A和v_B沿杆方向上分速度大小相等，即 v_Acosθ=v_Bsinθ
联立解得 vB=

2gL(1-cosθ)cos2θ

令y=（1-cosθ）cos²θ，当y的导数y?=0时，A球机械能最小，v_B达最大值，即sinθcos²θ-2（1-cosθ）cosθsinθ=0
解得cosθ=

vA=

30gL

则A球机械能的最小值 EAmin=mAgLcosθ+

mAvA2=

23mAgL

答：（1）A球着地时的速度为v=

2gL

．
（2）A球机械能最小时，水平面对B球的支持力为 N=m_Bg．
（3）当A球机械能最小时，杆与竖直方向夹角的余弦值为

，A球机械能的最小值为

23mAgL

．

点评：解决本题的关键知道A、B组成的系统在运动的过程中机械能守恒．知道当B的速度最大时，A的机械能最小．

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B．（1）（3）

C．（1）（4）

D．（2）（4）

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