Question

9．如图，足够长的木板A静止在光滑水平面上，物体B从A左端的上表面以水平速度v₀=5m/s滑入，在B的右端某处固定一挡板，挡板跟A的右端距离设为s，A与挡板碰撞后等速率反弹，已知A的质量M=5kg，B的质量m=4kg，A、B之间的动摩擦因数为μ=0.2，重力加速度g=10m/s²．

（1）当s=2m时，A与挡板碰撞是在A、B共速前还是共速后？
（2）s在什么范围内，A与挡板只能碰撞1次？
（3）假设最后一次碰撞前双方的动量大小相等，试确定A与挡板碰撞次数n与s的关系式，并计算当s=0.05m时的碰撞次数．

Answer 1

分析 （1）以A为研究对象，根据动能定理求出路程为s时的速度，分析A此时处于加速还是匀速状态，再根据系统的动量守恒列式即可．
（2）A与竖直挡板只能发生一次碰撞，碰撞后，A的动量应大于或等于B的动量．对系统，根据动量守恒和对A，由动能定理列式，结合条件可求x的范围．
（3）进一步分析B在A上运动的过程中A与B运动的特点和位移、速度的特点，得出运动的时间之间的关系与位移之间的关系，然后结合恰好发生2次、恰好发生3次等情况，得出发生n次碰撞对应的s的通式，并结合n与s之间关系的通式，计算出s=0.05m时发生碰撞的次数．

解答 解：（1）在A向右运动路程2m的过程中假设已经达到速度相等，由于水平方向A、B系统动量守恒，则：
mv₀=（M+m）v
代入数据解得 v=$\frac{20}{9}$m/s
A若一直做加速运动，则位移：$x=\frac{{v}^{2}}{2a}$
又：$a=\frac{μmg}{M}=\frac{0.2×4×10}{5}=1.6m/{s}^{2}$
解得：$x=\frac{{（\frac{20}{9}）}^{2}}{2×1.6}=\frac{125}{81}m＜2$m
所以A与挡板碰撞是在A、B共速后．
（2）设A、B与挡板碰前瞬间的速度分别为v_A1、v_B1，由动量守恒定律：
mv₀=Mv_A1+mv_B1
若A与挡板只能碰撞1次，则碰撞后二者的动量方向相反，大小至少是相等，则A与挡板碰撞前二者的动量大小相等，此时：$M{v}_{A1}=m{v}_{B1}=\frac{1}{2}m{v}_{0}$
得：${v}_{A1}=\frac{m{v}_{0}}{2M}=\frac{4×5}{2×5}=2$m/s
A在该过程中的位移：${x}_{1}=\frac{{v}_{A1}^{2}}{2a}=\frac{{2}^{2}}{2×1.6}=1.25$m
A在加速的过程中的位移越大，则速度越大，所以若A与挡板只能碰撞1次，则应满足：s≥x₁=1.25m
（3）恰好发生一次碰撞时，碰撞后木板A在水平方向仍然只受到摩擦力的作用，加速度的大小仍然是a，所以发生的最大位移：
${x}_{2}=-\frac{{v}_{A1}^{2}}{2a}=-1.25$m=-x₁
可知A恰好返回出发点，此时根据动量守恒定律可知，B的速度也恰好是0．则B运动的时间：
$t=\frac{0-m{v}_{0}}{-μmg}=\frac{{v}_{0}}{μg}=\frac{5}{0.2×10}=2.5$s
而A到达挡板的时间：${t}_{1}=\frac{{v}_{A1}}{a}=\frac{2}{1.6}=1.25$s
同理，A返回出发点的时间：${t}_{1}′=\frac{{v}_{A1}}{a}=\frac{2}{1.6}=1.25$s
可知：${t}_{1}′={t}_{1}=\frac{1}{2}t$
根据题意，若最后一次碰撞前双方的动量大小相等，则根据动量守恒定律可知，A与B组成的系统最后的速度都恰好等于0，而此时A一定恰好返回出发点．
若恰好发生2次碰撞，则A运动2个来回，单次的时间：${t}_{2}=\frac{1}{4}$t
若恰好发生3次碰撞，则A运动3个来回，单次的时间：${t}_{3}=\frac{1}{6}t=\frac{1}{2×3}t$
若恰好发生n次碰撞，则A运动2n个来回，单次的时间：${t}_{n}=\frac{1}{2n}t$
恰好发生n次碰撞时对应的位移：${x}_{n}=\frac{1}{2}a（\frac{t}{2n}）^{2}=\frac{a{t}^{2}}{8{n}^{2}}$=$\frac{1.6×2．{5}^{2}}{8{n}^{2}}$=$\frac{1.25}{{n}^{2}}$m
当s=0.05m时$0.05=\frac{1.25}{{n}^{2}}$，
代入数据得碰撞次数：n=5次．
答：（1）当s=2m时，A与挡板碰撞是在A、B共速后；
（2）当s≥1.25m时，A与挡板只能碰撞1次；
（3）假设最后一次碰撞前双方的动量大小相等，A与挡板碰撞次数n与s的关系式为s_n=$\frac{1.25}{{n}^{2}}$m，当s=0.05m时的碰撞次数是5次．

点评 本题考查了动量守恒定律、动能定理的应用，本题第（3）小题是本题的难点，知道A与挡板碰撞n次的条件是正确解题的前提与关键．