Question

10．如图为近代物理实验室中研究带电粒子的一种装置．带正电的粒子从容器A下方小孔S不断飘入电势差为U的加速电场．进过S正下方小孔O后，沿SO方向垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后打在照相底片D上并被吸收，D与O在同一水平面上，粒子在D上的落点距O为x，已知粒子经过小孔S时的速度可视为零，不考虑粒子重力．
（1）求粒子的比荷$\frac{q}{m}$；
（2）由于粒子间存在相互作用，从O进入磁场的粒子在纸面内将发生不同程度的微小偏转．其方向与竖直方向的最大夹角为α，若假设粒子速度大小相同，求粒子在D上的落点与O的距离范围；
（3）加速电压在（U±△U）范围内的微小变化会导致进入磁场的粒子速度大小也有所不同．现从容器A中飘入的粒子电荷最相同但质量分别为m₁、m₂（m₁＞m₂），在纸面内经电场和磁场后都打在照相底片上．若要使两种离子的落点区域不重叠，则$\frac{△U}{U}$应满足什么条件？（粒子进入磁场时的速度方向与竖直方向的最大夹角仍为α）

Answer 1

分析 （1）设离子经电场加速度时的速度为v，由动能定理及向心力公式即可求解；
（2）根据半径公式求出粒子在磁场中运动的半径，根据几何关系，确定出粒子在D上的落点与O的距离范围；
（3）根据最大加速电压U+△U，得出落到O点的最大距离，以及根据最小加速电压得出落到O点的最小距离，要使落点区域不重叠，则应满足：L_1min＞L_2max，从而求出$\frac{△U}{U}$应满足的条件．

解答 解：（1）考虑沿SO方向垂直进入磁场，最后打在照相底片D的粒子
粒子经过加速电场：qU=$\frac{1}{2}$mv²             
洛伦兹力提供向心力：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$              
落点到O的距离等于圆运动直径：x=2R          
所以粒子的比荷为：$\frac{q}{m}$=$\frac{8U}{{B}^{2}{x}^{2}}$                 
（2）粒子在磁场中圆运动半径R=$\frac{\sqrt{2qmU}}{Bq}$=$\frac{x}{2}$
由图象可知：粒子左偏θ角（轨迹圆心为O₁）或右偏θ角（轨迹圆心为O₂）
落点到O的距离相等，均为L=2Rcosθ     
故落点到O的距离
最大：L_max=2R=x                  
最小：L_min=2Rcosα=xcosα              
所以：xcosα≤L≤x
（3）①考虑同种粒子的落点到O的距离
当加速电压为U+△U、偏角θ=0时，距离最大
L_max=2R_max=$\frac{2}{Bq}$$\sqrt{2qm（U+△U）}$         
当加速电压为U-△U、偏角θ=α时，距离最小
L_min=2R_min cosα=$\frac{2}{Bq}$$\sqrt{2qm（U-△U）}$cosα   
②考虑质量不同但电荷量相同的两种粒子
由R=$\frac{\sqrt{2qmU}}{Bq}$和 m₁＞m₂，知：R₁＞R₂
要使落点区域不重叠，则应满足：L_1min＞L_2max
$\frac{2}{Bq}$$\sqrt{2qm1（U-△U）}$ cosα＞$\frac{2}{Bq}$$\sqrt{2qm2（U+△U）}$  
解得：$\frac{△U}{U}$＜$\frac{{m}_{1}co{s}^{2}α-{m}_{2}}{{m}_{1}co{s}^{2}α+{m}_{2}}$．                  
（应有条件m₁cos²α＞m₂，否则粒子落点区域必然重叠）
答：（1）粒子的比荷为$\frac{8U}{{B}^{2}{x}^{2}}$；
（2）粒子在D上的落点与O的距离范围为xcosα≤L≤x；
（3）$\frac{△U}{U}$应满足的条件$\frac{△U}{U}$＜$\frac{{m}_{1}co{s}^{2}α-{m}_{2}}{{m}_{1}co{s}^{2}α+{m}_{2}}$．

点评 本题主要考查了动能定理及向心力公式的直接应用，要求同学们知道要使两种离子在磁场中运动的轨迹不发生交叠，应满足：L_1min＞L_2max．