Question

3．如图所示，一压缩的轻弹簧左端固定，右端与一滑块相接触但不连接，滑块质量为m，与水平地面间的动摩擦因数为0.1，A点左侧地面光滑，AB的长度为5R，现将滑块由静止释放，滑块运动到A点时弹簧恢复原长，以后继续向B点滑行，并滑上光滑的半径为R的$\frac{1}{4}$光滑圆弧BC，在C点正上方有一离C点高度也为R的旋转平台，沿平台直径方向开有两个离轴心距离相等的小孔P、Q，旋转时两孔均能达到C点的正上方．若滑块滑过C点后进入P孔，又恰能从Q孔落下，已知物体通过B点时对地面的压力为9mg．求：
（1）滑块通过B点时的速度v_B；
（2）弹簧释放的弹性势能E_p；
（3）平台转动的角速度ω应满足什么条件．

Answer 1

分析 （1）物体经过B点做圆周运动，由牛顿第二定律可求得B点的速度；
（2）物体由静止释放到B点，利用动能定理和功能关系可求得弹簧的弹性势能；
（3）滑块从B点开始运动后机械能守恒，设滑块到达P处时速度，物体竖直上抛，利用运动学公式求出落回小孔的时间刚好与圆盘转一周或整数周的时间相同，可求出平台转动的角速度ω应满足的条件．

解答 解：（1）物体经过B点做圆周运动，由牛顿第二定律可得：${F}_{N}-mg=m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
即：$9mg-mg=m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，解得：${v}_{B}=2\sqrt{2gR}$
（2）物体由静止释放到B点，根据动能定理可得：$W-μmgx=m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
又由功能关系W=E_P
解得：${E}_{P}=μmg×5R+\frac{1}{2}m（2\sqrt{2gR}）^{2}$
即E_P=4.5mgR
（3）滑块从B点开始运动后机械能守恒，设滑块到达P处时速度为V_P．
则由机械能守恒定律得$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{p}^{2}+mg×2R$     解得：${v}_{p}=2\sqrt{gR}$
滑块穿过P孔后再回到平台时间：$t=\frac{2{v}_{p}}{g}=4\sqrt{\frac{R}{g}}$
要想实现上述过程，必须满足ωt=（2n+1）π
解得：$ω=\frac{（2n+1）π}{4}\sqrt{\frac{g}{R}}（n=0、1、2…）$
答：（1）滑块通过B点时的速度为$2\sqrt{2gR}$；
（2）弹簧释放的弹性势能为4，5mgR；
（3）平台转动的角速度ω应满足的条件是$ω=\frac{（2n+1）π}{4}\sqrt{\frac{g}{R}}（n=0、1、2…）$．

点评 解答此题的关键是在B点即做圆周运功，要用牛顿第二定律求解，还要注意滑块穿过圆盘小孔和平台转动的角速度ω应满足条件的可能值．