Question

荡秋千是大家喜爱的一项体育活动．随着科技的迅速发展，将来的某一天，同学们也许会在其它星球上享受荡秋千的乐趣．假设你当时所在星球的质量为M，半径为R，可将人视为质点，秋千质量不计、摆长不变、摆角小于900，若经过最低位置的速度为v₀．万有引力常量为G．
（1）该星球的第一宇宙速度是多少？
（2）该星球表面附近的重力加速度g是多少？
（3）摆动过程中，你能上升的最大高度是多少？
（4）若你的质量是m秋千摆长，经过最低位置时你对秋千的压力是多大？

Answer 1

分析：（1）第一宇宙速度的大小等于贴近星球表面做匀速圆周运动的速度大小，根据万有引力提供向心力求出第一宇宙速度的大小．
（2）根据万有引力等于重力求出星球表面的重力加速度．
（3）根据机械能守恒定律求出上升的最大高度．
（4）根据在最低点合力提供向心力求出支持力的大小，从而根据牛顿第三定律得出对秋千的压力大小．

解答：解：（1）设质量为m的卫星围绕星球表面飞行速度为v，万有引力提供向心力
G

Mm

R2

=m

v2

R

解得v=

GM R

（2）设物体的质量为m，在星球表面附近的重力等于万有引力
G

Mm

R2

=mg
解得g=

GM

R2

（3）设人的质量为m，能上升的最大高度为h，由机械能守恒定律得
mgh=

1

2

mv02
解得h=

R2v02

2GM

．
（4）经过最低点时，秋千的支持力F和人的重力G提供向心力，
有：F-mg=m

v02

l

解得F=m(

GM

R2

+

v02

l

)
由牛顿第三定律得，F压=F=m(

GM

R2

+

v02

l

)．
答：（1）该星球的第一宇宙速度是v=

GM R

．
（2）该星球表面附近的重力加速度g=

GM

R2

（3）能上升的最大高度是h=

R2v02

2GM

．
（4）经过最低位置时你对秋千的压力是m(

GM

R2

+

v02

l

)．

点评：本题考查了万有引力与机械能守恒和牛顿第二定律的综合，掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，并能灵活运用．