Question

9．（1）行星绕太阳近似认为做匀速圆周运动，设某行星质量为m，速度为v，行星到太阳的距离为r，行星绕太阳的公转周期为T，根据开普勒第三定律、牛顿第二定律与牛顿第三定律，推导万有引力定律F=G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$；
（2）若地球半径R=6.4×10⁶m，地球表面重力加速度g取10m/s²，试计算地球第一宇宙速度（以km/s做单位，取两位有效数字）．

Answer 1

分析 （1）行星绕太阳能做圆周运动，是由引力提供向心力来实现的．再由开普勒第三定律可推导出万有引力定律；
（2）第一宇宙速度即为地球表面附近做圆周运动的人造卫星的运行速度，可认为其轨道半径是地球的半径R，可利用万有引力提供它做圆周运动的向心力来进行求解．

解答 解：（1）行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力为：
$F=m\frac{{v}^{2}}{r}$
行星的线速度：v=$\frac{2πr}{v}$
由以上两式得：$F=\frac{4{π}^{2}mr}{{T}^{2}}$
不同行星的公转周期是不同的，F与r的关系式中T应消去，根据开普勒第三定律：
$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}=k$
代入上式可得$F=4{π}^{2}k\frac{m}{{r}^{2}}$
说明F∝$\frac{m}{{r}^{2}}$
根据牛顿第三定律，行星对太阳的引力F′应该与太阳的质量成正比，与行星和太阳之间的距离二次方成反比，即：
F∝$\frac{Mm}{{r}^{2}}$
写成等式就是：F=$G\frac{Mm}{{r}^{2}}$
（2）卫星在地球表面上方绕地球做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律有：
$mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$
式中R为地球半径，则v为第一宇宙速度，即$v=\sqrt{gR}=7.9km/s$
答：（1）推导见解答过程；
（2）地球的第一宇宙速度为7.9km/s．

点评 解决本题的关键能够建立正确的模型，运用牛顿第二定律、第三定律、开普勒第三定律进行推导，知道第一宇宙速度的物理意义．