Question

6．如图所示，从倾角为θ的斜面上的M点水平抛出一个小球，小球的初速度为v₀，最后小球落在斜面上的N点，设空气阻力不计，求
（1）小球从M运动到N处所需要的时间．
（2）小球落到N点的速度及M、N两点之间的距离．
（3）小球何时距离斜面最远？
（4）小球距离斜面的最远距离s是多少？

Answer 1

分析 （1）小球做平抛运动，根据位移偏转角公式列式求解时间；
（2）根据平抛运动的分位移公式和分速度公式列式求解，最后合成得到合速度和合位移；
（3）当速度方向与斜面平行时，小球离斜面最远，根据速度偏转角公式列式求解；
（4）将小球的运动沿着平行斜面和垂直斜面方向进行分解，结合垂直斜面方向的分运动公式列式求解．

解答 解：（1）根据位移偏转角公式，有：
tanθ=$\frac{y}{x}$=$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}$
解得：
t=$\frac{2{v}_{0}tanθ}{g}$
（2）小球落到N点的速度：
v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+（gt）^{2}}={v}_{0}\sqrt{1+4ta{n}^{2}θ}$
MN间距：
S=$\frac{x}{cosθ}$=$\frac{2{{v}_{0}}^{2}tanθ}{gcosθ}$
（3）当速度方向与斜面平行时，小球离斜面最远，故：
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{gt}{{v}_{0}}$
解得：
t=$\frac{{v}_{0}tanθ}{g}$
（4）将小球的运动沿着平行斜面和垂直斜面方向进行分解，垂直斜面方向是匀加速直线运动，初速度：${v}_{0y}^{\;}={v}_{0}sinθ$，加速度：a_y=-gcosθ；
根据速度位移关系公式，有：${0}^{2}-{v}_{0y}^{2}=2{a}_{y}h$
解得：h=$\frac{{v}_{0}^{2}si{n}^{2}θ}{2gcosθ}$
答：（1）小球从M运动到N处所需要的时间为$\frac{2{v}_{0}tanθ}{g}$；
（2）小球落到N点的速度为${v}_{0}\sqrt{1+4ta{n}^{2}θ}$，M、N两点之间的距离为$\frac{2{{v}_{0}}^{2}tanθ}{gcosθ}$；
（3）小球在$\frac{{v}_{0}tanθ}{g}$时距离斜面最远；
（4）小球距离斜面的最远距离s是$\frac{{v}_{0}^{2}si{n}^{2}θ}{2gcosθ}$．

点评 本题就是对平抛运动规律的考查，平抛运动可以分解为在水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动来求解，也可以沿着平行斜面和垂直斜面方向进行分解．