Question

1．如图所示，粗糙轨道AB和两个光滑半圆轨道组成的S形轨道．光滑半圆轨道半径为R，两个光滑半圆轨道连接处CD之间留有很小空隙，刚好能够使小球通过，CD之间距离可忽略，粗糙轨道最高点A与水平面上B点之间的高度为5R．从A点静止释放一个可视为质点的小球，小球沿S形轨道恰好运动到最高点E后且从E点水平飞出．已知小球质量m，不计空气阻力，求：
（1）小球落点到与E点在同一竖直线上B点的距离x为多少；
（2）小球运动到半圆轨道的B点时对轨道的压力；
（3）小球从A至E运动过程中克服摩擦阻力做的功．

Answer 1

分析 （1）小球沿S形轨道恰好运动到最高点E时，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求出小球通过E点的速度．小球从E点飞出做平抛运动，根据高度求出运动的时间，再求水平位移x．
（2）在B点，沿半径方向上的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出轨道对球的弹力，从而根据牛顿第三定律求出小球对轨道的压力．
（3）小球从A至E运动过程中，根据动能定理求出小球沿轨道运动过程中克服摩擦力所做的功．

解答 解：（1）设小球从E点水平飞出时的速度大小为v_E
恰好到达E点时，有 mg=m$\frac{{v}_{E}^{2}}{R}$
得 v_E=$\sqrt{gR}$
从E点水平飞出做平抛运动，由平抛运动规律：x=v_Et
  4R=$\frac{1}{2}$gt²
联立解得 x=2$\sqrt{2}$R
（2）小球从B点运动到E点的过程，由机械能守恒定律：
  mg•4R+$\frac{1}{2}$mv_B²=$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$
解得 v_B=3$\sqrt{gR}$
在B点，由牛顿第二定律得：F-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
联立解得：F=10mg
由牛顿第三定律知小球运动到B点时对轨道的压力大小为 F′=F=10mg，方向竖直向下．
（3）设小球沿S形轨道运动时克服摩擦力做的功为W_f，A→E的过程，由动能定理得：
 mg（5R-4R）-W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$
得：W_f=$\frac{1}{2}$mgR
答：
（1）小球落点到与E点在同一竖直线上B点的距离x为$\sqrt{gR}$；
（2）小球运动到半圆轨道的B点时对轨道的压力是10mg，方向竖直向下；
（3）小球从A至E运动过程中克服摩擦阻力做的功是$\frac{1}{2}$mgR．

点评 解决本题的关键理清运动的过程，抓住每个过程和状态的规律，综合运用牛顿定律、运动学规律和动能定理进行解题．