Question

已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，万有引力常量为G，不考虑地球自转的影响．试求：
（1）卫星绕地球运行的第一宇宙速度v₁的大小
（2）若卫星绕地球做匀速直线运动且运行周期为T，求卫星运行的轨道半径r
（3）由题干所给条件，推导出地球平均密度的ρ表达式．

Answer 1

分析：研究卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式求出线速度、轨道半径．
由于不考虑地球自转的影响，得出地球表面附近万有引力等于重力，可以表示出地球的质量．
运用密度公式求出地球平均密度．

解答：解：（1）设卫星的质量为m，地球的质量为M，根据万有引力定律，
物体在地球表面附近满足

GMm

R2

=mg，
第一宇宙速度是指卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，
卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力，即

GMm

R2

=m

v 2 1

R2

或m

v 2 1

R2

=mg，
联立解得：v₁=

Rg

．
（2）根据卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力得：

GMm

r2

=m

4π2

T2

r，
联立
解得：r=

3	gR2T2 4π2

．
（3）将地球看成是半径为R的均匀球体，其体积为V=

4

3

πR³ 
地球的平均密度ρ=

M

V

，联立解得：ρ=

3g

4πGR

．

答：（1）卫星绕地球运行的第一宇宙速度v₁的大小为

Rg

；
（2）若卫星绕地球做匀速直线运动且运行周期为T，卫星运行的轨道半径r为

3	gR2T2 4π2

；
（3）地球平均密度的ρ表达式为

3g

4πGR

．

点评：运用黄金代换式GM=gR²求出问题是考试中常见的方法．
向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．