Question

14．如图所示，让摆球从图中的C位置由静止开始摆下，摆到最低点D处，摆线刚好被拉断，小球在粗糙的水平面上由D点向右做匀减速运动，到达小孔进入半径R=0.25m的竖直放置的光滑圆弧轨道，当摆球进入圆轨道立即关闭A孔．已知摆线长L=2m，θ=60°，小球质量为m=1kg，D点与小孔A的水平距离s=2.5m，g取10m/s²．试求：
（1）求摆线能承受的最大拉力为多大？
（2）要使摆球能进入圆轨道并且不脱离轨道，求摆球与粗糙水平面间的摩擦因数μ的范围．

Answer 1

分析 （1）摆球摆到D点时，摆线的拉力最大，根据机械能守恒定律求出摆球摆到D点时速度，由牛顿第二定律求出摆线的最大拉力．
（2）要使摆球能进入圆轨道，并且不脱离轨道，有两种情况：一种在圆心以下做等幅摆动；另一种能通过圆轨道做完整的圆周运动．
小球要刚好运动到A点，对小球从D到A的过程，运用动能定理求出动摩擦因数μ的最大值；
若小球进入A孔的速度较小，并且不脱离轨道，那么将会在圆心以下做等幅摆动，不脱离轨道，其临界情况为到达圆心等高处速度为零，根据机械能守恒和动能定理求出动摩擦因数．
要使摆球能进入圆轨道，恰好到达轨道的最高点，就刚好不脱离轨道，在最高点时，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求出此时小球的速度，对从D到轨道最高点的过程，运用动能定理求解动摩擦因数的最小值，即可得到μ的范围．

解答 解：（1）当摆球由C到D运动，机械能守恒，则得：mg（L-Lcosθ）=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
在D点，由牛顿第二定律可得：F_m-mg=$\frac{m{v}_{D}^{2}}{L}$
联立可得：摆线的最大拉力为 F_m=2mg=10N 
（2）小球不脱圆轨道分两种情况：
①要保证小球能达到A孔，设小球到达A孔的速度恰好为零，
对小球从D到A的过程，由动能定理可得：-μ₁mgs=0-$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
解得：μ₁=0.5 
若进入A孔的速度较小，那么将会在圆心以下做等幅摆动，不脱离轨道．其临界情况为到达圆心等高处速度为零，由机械能守恒可得：$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$=mgR
由动能定理可得：-μ₂mgs=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
解得：μ₂=0.35
②若小球能过圆轨道的最高点则不会脱离轨道，在圆周的最高点由牛顿第二定律可得：$mg=m\frac{v^2}{R}$
由动能定理可得：$-{μ_3}mgs-2mgR=\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}m{v_D}^2$
解得：μ₃=0.125 
综上，所以摩擦因数μ的范围为：0.35≤μ≤0.5或者0＜μ≤0.125 
答：（1）摆线能承受的最大拉力为10N；
（2）粗糙水平面摩擦因数μ的范围为：0.35≤μ≤0.5或者0＜μ≤0.125．

点评 本题考查机械能守恒定律及动能定理、向心力公式等；关键是要全面分析不能漏解，要知道摆球能进入圆轨道不脱离轨道，有两种情况，再根据牛顿第二定律、机械能守恒和动能定理结合进行求解．