Question

16．如图所示，以A、B和C、D为断点的两半圆形光滑轨道固定于竖直平面内，一滑板静止在光滑的地面上，左端紧靠B点，上表面所在平面与两半圆分别相切于B、C两点，一物块（视为质点）被轻放在水平匀速运动的传送带上E点，运动到A点时刚好与传送带速度相同，然后经A点沿半圆轨道滑下，再经B点滑上滑板，滑板运动到C点时被牢固粘连．物块可视为质点，质量为m，滑板质量为M=2m，两半圆半径均为R，板长l=6.5R，板右端到C点的距离L在R＜L＜5R范围内取值，E点距A点的距离s=5R，物块与传送带、物块与滑板间的动摩擦因数均为μ=0.5，重力加速度g已知．
（1）求物块滑到A点的速度大小；
（2）求物块滑到B点时轨道所受的压力大小；
（3）试讨论物块从滑上滑板到离开右端的过程中，克服摩擦力做的功W_f与L的关系．并判断物块能否滑到CD轨道的中点．

Answer 1

分析 （1）物块滑到B点经过了两个过程，先是在传送带上的匀加速直线运动，由动能定理可求A点速度；
（2）A到B的过程机械能守恒可求B点的速度，根据动能定理求的作用力．
（2）首先由动量守恒、动能定理判断物块与滑板在达到相同共同速度时，物块有没有离开滑板；再由物块在C点的速度用机械能守恒判断能否到达CD轨道的中点

解答 解：（1）设物块运动到A和B点的速度分别为v₁、v₂，由动能定理得：
$μmgs=\frac{1}{2}{mv}_{1}^{2}$
解得：${v}_{1}=\sqrt{5gR}$
（2）从A到B由机械能守恒定律：$\frac{1}{2}{mv}_{2}^{2}=mg•2R+\frac{1}{2}{mv}_{1}^{2}$
解得：${v}_{2}=3\sqrt{gR}$
在B点由牛顿第二定律可得：${F}_{N}-mg=\frac{{mv}_{2}^{2}}{R}$
解得：F_N=10mg
由牛顿第三定律求的对轨道的压力为10mg
（3）设滑板与物块达到共同速度v₃时，位移分别为l₁、l₂，由动量守恒定律有：mv₂=（m+M）v₃
由动能定理得：$μmg{l}_{1}=\frac{1}{2}{Mv}_{3}^{2}$
$-μmg{l}_{2}=\frac{1}{2}{mv}_{3}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{2}^{2}$
联立解得：l₁=2R　　　l₂=8R
物块相对滑板的位移为：△l=l₂-l₁ △l＜l
即物块与滑板在达到相同共同速度时，物块未离开滑板，物块滑到滑板右端时，
若R＜L＜2R，W_f=μmg（l+L）
${W}_{f}=\frac{1}{4}mg（13R+2L）$
若2R≤L＜5R，W_f=μmg（l+l₁）
${W}_{f}=\frac{17}{4}mgR$
设物块滑到C点的动能为E_k，
由动能定理有：$-{W}_{f}={E}_{k}-\frac{1}{2}{mv}_{2}^{2}$
L最小时，克服摩擦力做功最小，因为L＞R，
联立可确定E_k小于mgR，则物块不能滑到CD轨道中点．
答：（1）求物块滑到A点的速度大小为$\sqrt{5gR}$；
（2）求物块滑到B点时轨道所受的压力大小为10mg；
（3）试讨论物块从滑上滑板到离开右端的过程中，克服摩擦力做的功W_f与L的关系．物块不能滑到CD轨道的中点

点评 本题考查动量守恒和机械能守恒以及有摩擦的板块模型中克服摩擦力做的功．判断物块与滑板在达到相同共同速度时，物块未离开滑板是关键，是一道比较困难的好题