Question

如图所示，A、B是两块竖直放置的平行金属板，相距为2L，分别带有等量的正、负电荷，在两板间形电场强度大小为E匀强电场．A板上有一小孔（它的存在对两板间匀强电场分布的影响可忽略不计），孔中有一条与板垂直的水平光滑绝缘轨道，一个质量为m，电荷量为q（q＞0）的小球（可视为质点），在外力作用下静止在轨道的中点P处．一自然长度为L的轻弹簧左端固定在距A板左侧L处挡板上，右端固定一块轻小的绝缘材料制成的薄板Q．撤去外力释放带电小球，它将在电场力作用下由静止开始向左运动，穿过小孔后（不与金属板A接触）与薄板Q一起压缩弹簧，由于薄板Q及弹簧的质量都可以忽略不计，可认为小球与Q接触过程中不损失机械能．小球从接触Q开始，经过一段时间第一次把弹簧压缩至最短，然后又被弹簧弹回．由于薄板Q的绝缘性能有所欠缺，使得小球每次离开Q瞬间，小球的电荷量都损失一部分，而变成刚与Q接触时小球电荷量的

1

k

（k＞l）．求：
（1）弹簧第一次压缩到最左边时的弹性势能；
（2）小球在与B板相碰之前，最多能与薄板Q碰撞多少次；
（3）设A板的电势为零，当k=2，且小孔右侧的轨道粗糙与带电小球间的滑动摩擦力Ff=

qE

4

时，求带电小球初、末状态的电势能变化量．

Answer 1

分析：（1）根据能的转化和守恒定律，即小球在电场力作用下获得动能，与Q接触过程中，全部转化成弹簧的弹性势能．
（2）分析知，小球每次离开Q时的速度大小相同，等于小球第一次与Q接触时速度大小v，根据动能定理求得．
（3）根据动能定理求得小球第1次弹回两板间后向右运动最远距A板的距离，再求出第二次，即求得．

解答：解：（1）当P由静止开始释放到弹簧第一次压缩到最左边的过程中，
根据能的转化和守恒定律可得弹性势能：
电场力对小球做的功使小球获得动能，与Q接触过程中，全部转化成弹簧的弹性势能．
即：弹簧第一次压缩到最左边时的弹性势能E_p=qEL
（2）分析知，小球每次离开Q时的速度大小相同，
等于小球第一次与Q接触时速度大小v，
根据动能定理可得：
qEL=

1

2

mv2?v=

2qEL m

设小球与薄板Q碰撞n次后恰好向右运动到B板，
则：qn=

q

kn

小球与薄板Q碰撞n次后向右运动从与Q分离到恰好到达B板的过程中，
根据动能定理可得：
-

q

kn

E?2L=0-

1

2

mv2
由以上几式可得：
n=[

lg2

lgk

]（或取

lg2

lgk

的整数）
（3）设小球第1次弹回两板间后向右运动最远距A板的距离为L₁，
则：(qE-Ff)L-(

q

k

E+Ff)L1=0?L1=L
设小球第2次弹回两板间后向右运动最远距A板的距离为L₂，
则：(qE-Ff)L-2Ff L1-(

q

k2

E+Ff)L2=0?L2=

L

2

而此时电场力：F=

q

k2

E=

1

4

qE=Ff，
即带电小球可保持静止．
所以带电小球初、末状态的电势能变化量：
△Ep=Ep2-Ep1=

qE

4

?

L

2

-qEL=-

7

8

qEL
答：（1）弹簧第一次压缩到最左边时的弹性势能是qEL；
（2）小球在与B板相碰之前，最多能与薄板Q碰撞次数是n=[

lg2

lgk

]；
（3）带电小球初、末状态的电势能变化量是-

7

8

qEL．

点评：了解研究对象的运动过程是解决问题的前提，根据题目已知条件和求解的物理量选择物理规律解决问题．
要注意小球运动过程中各个物理量的变化．