有条船在水中航行时所受阻力与其速度的大小成正比.现在船由静止开始沿直线航行．若保持牵引力恒定.经过时间t1.后速度为v1.加速度为a1.牵引力功率为P1.通过航程为s1.最终以2v速度匀速运动,若保持牵引力的功率恒定.经过时间t2后速度为v.加速度为a2.牵引力功率为P2.通过航程为s2.最终也以2v速度匀速运动．则下列关系式正确� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（2008?江苏模拟）有条船在水中航行时所受阻力与其速度的大小成正比，现在船由静止开始沿直线航行．若保持牵引力恒定，经过时间t₁，后速度为v₁，加速度为a₁，牵引力功率为P₁，通过航程为s₁，最终以2v速度匀速运动；若保持牵引力的功率恒定，经过时间t₂后速度为v，加速度为a₂，牵引力功率为P₂，通过航程为s₂，最终也以2v速度匀速运动．则下列关系式正确的是（　　）

A．a₂=3a₁

B．t₁=3t₂

C．s₂=3s₁

D．P₂=3P_l

分析：1、以恒定牵引力启动的物理过程：
根据牛顿第二定律可知由于F恒定，速度增大，所以加速度减小，故做加速度减小的加速运动．
又P=Fv，由于速度增大，所以功率增大．
到t₁时刻，为v、a₁，当F=f=k?2v时，a=0，匀速2v，P=F?2v=4kv²．
需要注意的是，虽然牵引力恒定，但船所受阻力跟速度成正比，故合外力是变力，不是匀变速运动．
2、以恒定功率启动的物理过程：
根据牛顿第二定律a=

F-f

-f

，由于P恒定，速度增大，所以加速度减小，故做加速度减小的加速运动．
到t₂时刻，为v、a₂，当F′=f=k?2v时，a′=0，匀速2v，P′=F?2v=4kv²
故有最终功率相等．

解答：

解：以恒定的牵引力启动经过时间t₁时满足方程：
F-kv=ma₁…①
以2v的速度作匀速运动时满足方程：
F-k2v=0…②
由①②两式可得：kv=ma₁…③
船以恒定的功率启动经过时间t₂时，设牵引力为F′，则有：F′-kv=ma₂…④
设恒定功率为P，则有：P=F′v…⑤
由于功率一定，两次最终也以2v的速度作匀速运动，匀速运动时满足方程：P=F2v…⑥
由⑤⑥两式得：F′=2F
代入④得：2F-kv=ma₂…⑦
将②代入上式得：3kv=ma₂…⑧
由③⑧两式相比可得：a₂=3a₁
故A正确．
关于时间的比较用v-t图象加以分析比较方便．画出两船的v-t图象，图线的斜率等于其加速度，注意利用速度均为v时，a₂=3a₁；速度为2v时，均匀速运动，故得图线如图所示，图中甲表示以恒定牵引力启动，乙表示以恒定功率启动．
　　由图可知，开始阶段，乙的加速度是甲的3倍，乙的速度增加比甲快，乙的位移大于甲，速度达到v时，从图中很直观看出t₁＞t₂，但是不能证明t₁=3t₂，同理也不能证明位移和功率的具体关系，只能求出大体大小关系，本题的正确答案应是A．
故选A．

点评：解决此类问题的关键是“三分析”--分析受力，根据牛顿运动定律确定运动性质；以加速度为桥梁，分析运动及其变化过程；分析收尾状态，明确特征及其条件．对于变力作用下的运动过程处理（例如本题求由静止启动到最终匀速运动的位移和时间），因涉及微积分，中学只能用动能定理求解或图象法求解．本题思维难度较大，属于难题．

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B．c粒子速率最大

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