Question

9．已知地球的半径为R，地球表面处的重力加速度为g，地球自转的周期为T，计算下面物理量：（用g、R、T表示）
（1）求地球表面发射卫星的第一宇宙速度
（2）求同步地球卫星离地面的高度．

Answer 1

分析 地球的同步卫星、近地卫星的万有引力提供向心力，可以求出地球同步卫星的高度、第一宇宙速度．

解答 解：（1）当卫星在地球表面附近运动行时，受地球的万有引力提供向心力，即：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…①
又因为在不考虑地 球的自转，地球表面的重力和万有引力相等，故有：
mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$…②
由①②得：v₁=$\sqrt{gR}$    
（2）同步卫星运动地周期与地球自转周期相同同步卫星受到地球的万有引力提供向心力，故有：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r，r=R+h…③
由②③得：h=$\root{3}{\frac{{{gR}^{2}T}^{2}}{{4π}^{2}}}$-R                                    
答：（1）地球表面发射卫星的第一宇宙速度是$\sqrt{gR}$；
（2）求同步地球卫星离地面的高度是$\root{3}{\frac{{{gR}^{2}T}^{2}}{{4π}^{2}}}$-R．

点评 解答此题要清楚地球表面的物体受到的重力等于万有引力，地球的同步卫星的万有引力提供向心力，地球近地卫星所受的万有引力提供向心力．