Question

如图所示，空间存在一个半径为R₀的圆形匀强磁场区域，磁场的方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小为B．有一个粒子源在纸面内沿各个方向以一定速率发射大量粒子，粒子的质量为m、电荷量为+q．将粒子源置于圆心，则所有粒子刚好都不离开磁场，不考虑粒子之间的相互作用．
（1）求带电粒子的速率．
（2）若粒子源可置于磁场中任意位置，且磁场的磁感应强度大小变为

B

4

，求粒子在磁场中最长的运动时间t．
（3）若原磁场不变，再叠加另一个半径为R₁（R₁＞R₀）圆形匀强磁场，磁场的磁感应强度的大小为

B

2

，方向垂直于纸面向外，两磁场区域成同心圆，此时该离子源从圆心出发的粒子都能回到圆心，求R₁的最小值和粒子运动的周期T．

Answer 1

（1）粒子离开出发点最远的距离为轨道半径的2倍
几何关系，则有R0=2r=

2mv

Bq

    
根据半径公式，解得v=

qBR0

2m

（2）磁场的大小变为

B

4

后，粒子的轨道半径为2R₀，
根据几何关系可以得到，当弦最长时，运动的时间最长，弦为2 R₀时最长，圆心角60°
解得：t=

60°

360°

T=

4πm

3qB

（3）根据矢量合成法则，叠加区域的磁场大小为

B

2

，方向向里，
R₀以为的区域磁场大小为

B

2

，方向向外．粒子运动的半径为R₀，
根据对称性画出情境图，由几何关系可得R₁的最小值为(

3

+1)R0
T=

( π 3 + 5π 6 )?4m

q B 2

=

28πm

3qB

答：（1）求带电粒子的速率得v=

qBR0

2m

．
（2）若粒子源可置于磁场中任意位置，且磁场的磁感应强度大小变为

B

4

，则粒子在磁场中最长的运动时间

4πm

3qB

．
（3）若原磁场不变，再叠加另一个半径为R₁（R₁＞R₀）圆形匀强磁场，磁场的磁感应强度的大小为

B

2

，方向垂直于纸面向外，两磁场区域成同心圆，此时该离子源从圆心出发的粒子都能回到圆心，则R₁的最小值和粒子运动的周期

28πm

3qB

．