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如图所示,两个圆形光滑细管在竖直平面内交叠,组成“8”字形通道,在“8”字形通道底端B处连接一内径相同的粗糙水平直管AB.已知E处距地面的高度h=3.2m,一质量m=1kg的小球a从A点以速度v0=12m/s的速度向右进入直管道,到达B点后沿“8”字形轨道向上运动,到达D点时恰好与轨道无作用力,直接进入DE管(DE管光滑),并与原来静止于E处的质量为M=4kg的小球b发生正碰(ab均可视为质点).已知碰撞后a球沿原路返回,速度大小为碰撞前速度大小的
1
3
,而b球从E点水平抛出,其水平射程s=0.8m,(g取10m/s2
(1)求碰后b球的速度大小?
(2)求“8”字形管道上下两圆的半径r和R.
(3)若小球a在管道AB中运动时所受阻力为定值,请判断a球返回到BA管道中时能否从A端穿出?
(1)b球离开DE后做平抛运动:
h=
gt2
2

s=vbt
解得 vb=1m/s
故碰后b球的速度大小为:vb=1m/s.
(2)ab碰撞过程,动量守恒,以水平向右为正方向:
mva=-m
va
3
+Mvb

Va=3m/s
碰前a在D处恰好与轨道无作用力:
mg=
m
v2a
r

r=0.9m
R=
h-2r
2
=0.7m

故上半圆半径r=0.9m,下半圆半径R=0.7m.
(3)小球从B到D,机械能守恒:
1
2
m
v2B
=
1
2
m
v2a
+mgh

解得:
1
2
m
v2B
=36.5J

从A到B过程,由动能定理得:
-Wf=
1
2
m
v2B
-
1
2
m
v20

解得:Wf=35.5J
从D到B,机械能守恒有:
1
2
m(
va
3
)2+mgh=
1
2
m
v′2B

解得:
1
2
m
v′2B
=32.5J
<Wf
故,a球返回到BA管道中时,不能从A端穿出.
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求:
(1)滑块A与滑块B碰撞前的速度
(2)滑块A与滑块B碰撞过程的机械能损失
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m
3
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