Question

如图所示的轨道由位于竖直平面的圆弧轨道和水平轨道两部分相连而成。水平轨道的右侧有一质量为2m的滑块C与轻质弹簧的一端相连，弹簧的另一端固定在竖直的墙M上，弹簧处于原长时，滑块C在P点处；在水平轨道上方O处，用长为L的细线悬挂一质量为m的小球B，B球恰好与水平轨道相切于D点，并可绕D点在竖直平面内摆动。质量为m的滑块A由圆弧轨道上静止释放，进入水平轨道与小球B发生碰撞，A、B碰撞前后速度发生交换。P点左方的轨道光滑、右方粗糙，滑块A、C与PM段的动摩擦因数均为μ=，其余各处的摩擦不计，A、B、C均可视为质点，重力加速度为g。

(1)若滑块A能以与球B碰前瞬间相同的速度与滑块C相碰，A至少要从距水平轨道多高的地方开始释放?

(2)在(1)中算出的最小值高度处由静止释放A，经一段时间A与C相碰，设碰撞时间极短，碰后一起压缩弹簧，弹簧最大压缩量为 L，求弹簧的最大弹性势能。

Answer 1

解析：(1)要使滑块A能以与B碰前瞬间相同的速度与C碰撞，必须使小球B受A撞击后在竖直平面内完成一个完整的圆周运动后从左方撞击A，使A继续向右运动。

设A从距水平面高为H的地方释放，与B碰前的速度为v₀

对A，由机械能守恒得：mgH=  ①

向心力F=

设小球B通过最高点的速度为v_B，则它通过最高点的条件是：mg≤  ②

小球B从最低点到最高点机械能守恒：=2mgL+  ③

联立①、②、③得：H≥  ④

(2)从这个高度下滑的A与C碰撞前瞬间速度v₀=  ⑤

设A与C碰后瞬间的共同速度为v，由动量守恒：mv₀＝(m＋2m)v  ⑥

A、C一起压缩弹簧，由能量守恒定律。有：

=E_P+(μmg+μ·2mg)·  ⑦

由⑤、⑥、⑦式得：E_P==0.5mgL