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    20．质量为m的登月器与航天飞机连接在一起，随航天飞机绕月球做半径为3R（R为月球半径）的圆周运动．当它们运行到轨道的A点时，登月器被弹离，航天飞机速度变大，登月器速度变小且仍沿原方向运动，随后登月器沿椭圆登上月球表面的B点，在月球表面逗留一段时间后，经快速起动仍沿原椭圆轨道回到分离点A与航天飞机实现对接．已知月球表面的重力加速度为g月．科学研究表明，天体在椭圆轨道上运行的周期的平方与轨道半长轴的立方成正比．试求：
    （1）登月器与航天飞机一起在圆周轨道上绕月球运行的周期是多少？
    （2）若登月器被弹射后，航天飞机的椭圆轨道长轴为8R，则为保证登月器能顺利返回A点，登月器可以在月球表面逗留的时间是多少？

    分析 （1）登月器和航天飞机在半径3R的轨道上运行，根据万有引力提供向心力列出等式，在月球表面的物体所受重力近似等于万有引力列出等式求解
    （2）对登月器和航天飞机依据开普勒第三定律列出等式，为使登月器仍沿原椭圆轨道回到分离点与航天飞机实现对接，根据周期关系列出等式求解

    解答 解：（1）设登月器和航天飞机在半径3R的轨道上运行时的周期为T，因其绕月球作圆周运动，所以应用牛顿第二定律有：
    G$\frac{Mm}{9{R}^{2}}$=m（$\frac{2π}{T}$）2•3R…①
    在月球表面的物体所受重力近似等于万有引力，即：
    G$\frac{M{m}_{0}}{{R}^{2}}$=m0g月…②
    联立①②解得：T=6π$\sqrt{\frac{3R}{{g}_{月}}}$…③
    （2）设登月器在小椭圆轨道运行的周期是T1，航天飞机在大椭圆轨道运行的周期是T2．对登月器和航天飞机依据开普勒第三定律分别有：
    $\frac{{T}^{2}}{（3R）^{3}}=\frac{{T}_{1}^{2}}{（2R）^{3}}$…④
    $\frac{{T}^{2}}{（3R）^{3}}=\frac{{T}_{2}^{2}}{（4R）^{3}}$…⑤
    为使登月器仍沿原椭圆轨道回到分离点与航天飞机实现对接，登月器可以在月球表面逗留的时间t应满足：
    t=nT2-T1 （其中，n=1、2、3、…）…⑥
    联立③④⑤⑥得：t=4π（4n-$\sqrt{2}$）$\sqrt{\frac{R}{{g}_{月}}}$（其中，n=1、2、3、…）
    答：（1）登月器与航天飞机一起在圆周轨道上绕月球运行的周期是6π$\sqrt{\frac{3R}{{g}_{月}}}$
    （2）若登月器被弹射后，航天飞机的椭圆轨道半长轴为4R，则为保证登月器能顺利返回A点，登月器可以在月球表面逗留的时间是4π（4n-$\sqrt{2}$）$\sqrt{\frac{R}{{g}_{月}}}$（其中，n=1、2、3、…）

    点评 该题考查了万有引力定律及圆周运动相关公式的直接应用，对登月器和航天飞机依据开普勒第三定律，属于中档题

    练习册系列答案
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