Question

20．在粗糙的水平面上，有一个质量为4kg的物块，与水平面间的动摩擦因数为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，为了使物块在水平面上匀速滑动，需对物块加一个拉力．（重力加速度g=10m/s²）．求：
（1）物块所受摩擦力和支持力的合力的方向与竖直方向的夹角．
（2）施加的拉力的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据滑动摩擦定律公式f=μF_N求解物块所受摩擦力和支持力的合力的方向与竖直方向的夹角即可；
（2）对物体受力分析，受拉力、重力、支持力和摩擦力，根据平衡条件，如果将水平面对物体的弹簧和摩擦力看作一个力，可以用合成法作图求解；也可以采用正交分解法列式求解拉力的表达式后进行分析．

解答 解：（1）设支持力为F_N，则动摩擦力为f=μF_N，
由几何关系知$tanθ=\frac{{μ{F_N}}}{F_N}=μ=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
故θ=30°，即物体所受摩擦力和支持力的合力的方向与竖直方向成30°角；
（2）方法一：合成法
由于物块匀速运动，根据平衡条件F_合=0，

即拉力与摩擦力和支持力的合力F的合力与重力大小相等、方向相反，
由几何关系知${F}_{T}=mgsin30°=\frac{1}{2}mg=20N$，
所以最小拉力为20N，与水平方向成30°；
方法二：三角函数法
设拉力为F，与水方向夹角为α，
水平方向上：f=μF_N=Fcosα，
竖直方向上：F_N+Fsinθ=mg，
联立可得：$F=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}×40}{sinα+\frac{\sqrt{3}}{3}cosα}N=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}×40}{\frac{2}{\sqrt{3}}[\frac{\sqrt{3}}{2}sinα+\frac{1}{2}cosα]}N=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}×40}{\frac{2}{\sqrt{3}}sin（α+60°）}N$，
故F的最小值为$\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{3}×40}}{{\frac{2}{{\sqrt{3}}}}}N=20N$，此时α=30°；
答：（1）物块所受摩擦力和支持力的合力的方向与竖直方向的夹角为30°．
（2）施加的拉力的最小值为20N．

点评 本题是力平衡问题，关键是对物体进行受力分析，根据平衡条件列式求解．共点力平衡的处理方法：
（1）三力平衡的基本解题方法：①力的合成、分解法：即分析物体的受力，把某两个力进行合成，将三力转化为二力，构成一对平衡力，二是把重力按实际效果进行分解，将三力转化为四力，构成两对平衡力．②相似三角形法：利用矢量三角形与几何三角形相似的关系，建立方程求解力的方法．应用这种方法，往往能收到简捷的效果．
（2）多力平衡的基本解题方法：正交分解法，利用正交分解方法解体的一般步骤：①明确研究对象；②进行受力分析；③建立直角坐标系，建立坐标系的原则是让尽可能多的力落在坐标轴上，将不在坐标轴上的力正交分解；④x方向，y方向分别列平衡方程求解．