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    11．如图所示，“＜”型光滑长轨道固定在水平面内，电阻不计．轨道中间存在垂直水平面向下的匀强磁场，磁感应强度B．一根质量m．单位长度电阻R0的金属杆，与轨道成30°位置放置在轨道上，从静止起在水平拉力作用下从轨道的左端O点出发，向右做加速度大小为a的匀加速直线运动，经过位移L，求：
    （1）金属杆前进L过程中流过金属杆的电量；
    （2）已知金属杆前进L过程中水平拉力做功W，若改变水平拉力的大小，以2a大小的加速度重复上述前进L的过程，水平拉力做功多少？
    （3）若改用水平恒力F由静止起从轨道的左端O点拉动金属杆，到金属杆速度达到最大值vm时产生热量．（Fvm已知量）

    分析 （1）根据切割公式得到感应电动势，根据欧姆定律得到感应电流的表达式，得到电流的平均值，从而求解电路；
    （2）根据安培力公式、欧姆定律和切割公式得到安培力的表达式，根据动能定理和运动学公式分别列式后联立求解；
    （3）改用水平恒力F，导体棒做加速运动，最后是匀速运动，根据平衡条件、安培力公式、欧姆定律和切割公式列式后联立求解得到最大速度，再根据动能定理列式求解即可．

    解答 解：（1）设该位移为x时，切割磁感线杆长为l，由：E=Blv，R=lR0，v=at，
    则：I=$\frac{E}{R}=\frac{aB}{R_0}t$，得到I与t成正比关系．
    由：x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，Q=$\overline{I}t$，得到：Q=$\frac{Bx}{{R}_{0}}$．
    （2）由动能定理：${W_外}-{W_安}=\frac{1}{2}m{v^2}$，得加速度为a时，当位移为L时，
    有W安=W-ma•L，在加速度为2a时，与加速度为a时，位移为x，则杆长为l，则：
    ${F_{安2a}}=B{I'_{2a}}l=\frac{{{B^2}l}}{{l{R_0}}}{v_{2a}}=\frac{{{B^2}l}}{R_0}\sqrt{4ax}$，${F_{安a}}=BI{′_a}l=\frac{{{B^2}l}}{{l{R_0}}}{v_a}=\frac{{{B^2}l}}{R_0}\sqrt{2ax}$．
    当位移量相等时，${F_{安2a}}=\sqrt{2}{F_{安a}}$，则有：总位移相等时${W'_安}=\sqrt{2}{W_安}=\sqrt{2}（W-maL）$；
    由动能定理：${W'_外}-{W_安}=\frac{1}{2}m{（v'）^2}$，则：${{W'}_外}=\sqrt{2}W+（2-\sqrt{2}）maL$．
    （3）若外力为恒力，则当速度达到最大时，加速度为零，则合力为零，即F安=F，
    又因为：${F_安}=2\sqrt{3}Bx\frac{{B{v_m}}}{R_0}$，得到：$\frac{{2\sqrt{3}{B^2}{v_m}}}{R_0}x=F$，则：$x=\frac{{F{R_0}}}{{2\sqrt{3}{B^2}{v_m}}}$；
    由能量守恒可以得到：$Q=Fx-\frac{1}{2}mv_m^2=\frac{{{F^2}{R_0}}}{{2\sqrt{3}{B^2}{v_m}}}-\frac{1}{2}mv_m^2$．
    答：（1）金属杆前进L过程中流过金属杆的电量为$\frac{Bx}{{R}_{0}}$；
    （2）已知金属杆前进L过程中水平拉力做功W，若改变水平拉力的大小，以2a大小的加速度重复上述前进L的过程，水平拉力做功$\sqrt{2}W+（2-\sqrt{2}）maL$；
    （3）若改用水平恒力F由静止起从轨道的左端O点拉动金属杆，到金属杆速度达到最大值vm时产生热量为$Fx-\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}=\frac{{F}^{2}{R}_{0}}{2\sqrt{3}{B}^{2}{v}_{m}}-\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$．

    点评 本题关键是明确导体棒的受力情况与运动情况，能够结合动能定理、安培力公式、法拉第电磁感应定律多次列式求解，不太难．

    练习册系列答案
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    A．弹簧的弹力大小不变
    B．物体A对斜面的压力将减少
    C．物体A受到的静摩擦力将先减小后增大
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    A．导体棒到达涂层前做加速度减小的加速运动
    B．在涂层区导体做匀速运动
    C．导体棒到达底端的速度为v=$\sqrt{\frac{7mgh}{4（m+{B}^{2}{l}^{2}C）}}$
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