Question

（2009?广州一模）如图所示，电阻不计的两光滑金属导轨相距L放在水平绝缘桌面上，半径为R的

1

4

圆弧部分处在竖直平面内，水平直导轨部分处在磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场中，末端与桌面边缘平齐．两金属棒ab、cd垂直两导轨且与导轨接触良好，ab棒质量为2m、电阻为r，cd棒质量为m、电阻为r．开始时cd棒静止在水平直导轨上，ab棒从圆弧导轨的顶端无初速释放，进入水平直  导轨后与cd棒始终没有接触并一直向右运动，最后两棒都离开导轨落到地面上．两棒落地点到桌面边缘的水平距离之比为3：1，求：
（1）cd棒在水平直导轨上的最大加速度．
（2）两棒在导轨上运动的过程中产生的焦耳热．

Answer 1

分析：（1）ab棒刚进入水平导轨时，cd棒受到的安培力最大，此时它的加速度最大．根据ab棒从圆弧导轨滑下机械能定恒求解进入磁场之前的速度大小，由E=BLv、I=

E

2r

、F=BIL结合求出安培力，即可由牛顿第二定律求解最大加速度．
（2）ab棒与cd棒在水平导轨上运动，根据动量定恒和两棒离开导轨做平抛运动的时间相等求出棒ab和棒cd离开导轨时的速度大小；根据能量定恒求解两棒在轨道上运动过程产生的焦耳热．

解答：解：（1）ab棒刚进入水平导轨时，cd棒受到的安培力最大，此时它的加速度最大．
设ab棒进入水平导轨的速度为v₁，ab棒从圆弧导轨滑下机械能定恒：
2mgR=

1

2

×2mv₁²
解得：v₁=

2gR

． ①
ab棒刚进入水平导轨时，设此时回路的感应电动势为E，
E=BLv ③
I=

E

2r

 ④
cd棒受到的安培力为：F_cd=BIL ⑤
根据牛顿第二定律，cd棒有最大加速度为
a=

Fcd

m

 ⑥
联立①～⑥解得：
a=

B2L2 2gR

2m

  ⑦
（2）离开导轨时，设ab棒的速度为v₁′，cd棒的速度为v₂′，ab棒与cd棒在水平导轨上运动，根据动量定恒得：
   2mv₁=2mv₁′+mv₂′⑧
依题意v₁′＞v₂′，⑨
两棒离开导轨做平抛运动的时间相等，
由平抛运动水平位移x=vt可知 v₁′：v₂′=x₁：x₂=1：3
解得，v₁′=3v₂′，⑩
根据能量定恒，两棒在轨道上运动过程产生的焦耳热为
  Q=

1

2

×2m

v

2 1

-（

1

2

×2m

v

′2 1

+

1

2

m

v

′2 2

）（11）
由①⑧⑩（11）解得，Q=

22

49

mgR
答：
（1）cd棒在水平直导轨上的最大加速度为

B2L2 2gR

2m

．
（2）两棒在导轨上运动的过程中产生的焦耳热为

22

49

mgR．

点评：本题是电磁感应与电路、磁场、力学等知识的综合应用，根据牛顿第二定律求加速度，以及结合运动学能够分析出金属棒的运动情况．
考查分析和处理综合题的能力．