Question

12．如图所示，BCD为一竖直放置，半径为R的光滑圆弧细管道，BC弧对应的圆心角θ=60°，连线DC是圆弧细管道的竖直直径，一质量为m的小球（可视为质点）以某一初速度从A点水平抛出，恰好从圆弧细管BCD的B点沿该处切线方向进入圆弧细管道，经BCD从圆弧细管道的最高点D射出，且经过D点时小球对内侧管道的压力大小为$\frac{3}{4}$mg，不计空气阻力，已知重力加速度大小为g，求：
（1）小球经过D点时的速度大小；
（2）小球从A点水平抛出的初速度大小．

Answer 1

分析 （1）由已知条件可知向心力，再由牛顿第二定律和向心力公式可求得速度；
（2）由机械能守恒定律和平抛运动规律列式，联立可求得初速度．

解答 解：（1）设小球经过D点时的速度大小为v₁，由题意及牛顿第二定律可得：
mg-$\frac{3}{4}mg$=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得：v₁=$\frac{\sqrt{gR}}{2}$；
（2）设小球在B点时的速度大小为v，由机械能守恒定律可得：
$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$mv₁²+mg（R+Rcosθ）
设小球从A点到水平抛出的初速度大小为v0；根据平抛运动规律可得：
cosθ=$\frac{{v}_{0}}{v}$
联立解得：v₀=$\frac{\sqrt{13Rg}}{4}$
答：（1）小球经过D点时的速度大小为$\frac{\sqrt{gR}}{2}$
（2）小球从A点水平抛出的初速度大小$\frac{\sqrt{13Rg}}{4}$．

点评 本题考查向心力公式、平抛及机械能守恒定律的应用，要注意正确选择物理过程，明确物理规律的应用求解．