Question

16．一转动装置如图所示，四根轻杆OA、OC、AB和CB与两小球以及一小环通过铰链连接，轻杆长均为l，球和环的质量均为m，O端固定在竖直的轻质转轴上，套在转轴上的轻质弹簧连接在O与小环之间，原长为L，装置静止时，弹簧长为$\frac{3}{2}$L，转动该装置并缓慢增大转速，小环缓慢上升．弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g，求：
（1）弹簧的劲度系数k；
（2）AB杆中弹力为零时，装置转动的角速度ω₀．

Answer 1

分析 （1）装置静止时，分别对小环和小球分析，根据共点力平衡，结合胡克定律求出弹簧的劲度系数；
（2）当AB杆弹力为零时，对小环分析，根据共点力平衡和胡克定律求出弹簧的长度，对小球分析，抓住竖直方向上合力为零，水平方向上的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出装置转动的角速度ω₀．

解答 解：（1）装置静止时，设OA、AB杆中的弹力分别为F₁、T₁，OA杆与转轴的夹角为θ₁．
小环受到弹簧的弹力${F_{弹1}}=k•\frac{L}{2}$，
小环受力平衡：F_弹1=mg+2T₁cosθ₁，
小球受力平衡：F₁cosθ₁+T₁cosθ₁-mg=0；F₁sinθ₁-T₁sinθ₁=0，
解得：$k=\frac{4mg}{L}$
（2）设OA、AB杆中的弹力分别为F₂、T₂，OA杆与转轴的夹角为θ₂，弹簧长度为x．
小环受到弹簧的弹力：F_弹2=k（x-L）
小环受力平衡：F_弹2=mg，
得：$x=\frac{5}{4}L$
对小球：F₂cosθ₂=mg； 
${F_2}sin{θ_2}=mω_0^2lsin{θ_2}$；
$cosθ{\;}_2=\frac{x}{2l}$
解得：${ω_0}=\sqrt{\frac{8g}{5L}}$
答：（1）弹簧的劲度系数k为$\frac{4mg}{L}$；
（2）AB杆中弹力为零时，装置转动的角速度ω₀为$\sqrt{\frac{8g}{5L}}$．

点评 本题综合考查了动能定理、牛顿第二定律、共点力平衡和胡克定律的运用，当装置转动时，抓住小环平衡，小球在竖直方向上平衡，水平方向上的合力提供向心力进行求解．