Question

如图，竖直环A半径为r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右两侧各有一档板固定在地上，B不能左右运动，在环的最低点静放有一小球C，A、B、C的质量均为m．给小球一水平向右的瞬时速度v，小球会在环内侧做圆周运动，为保证小球不脱离轨道，且不会使环在竖直方向上跳起，（不计小球与环的摩擦阻力），则v²可能是（　　）

A．gR

B．5gR

C．4gR

D．8gR

Answer 1

分析：小球在环内侧做圆周运动，通过最高点速度最小时，轨道对球的最小弹力为零，根据牛顿第二定律求出小球在最高点的最小速度；为了不会使环在竖直方向上跳起，小球在最高点对轨道的弹力不能大于2mg，根据牛顿第二定律求出最高点的最大速度，再根据机械能守恒定律求出小球在最低点的速度范围．

解答：解：在最高点，速度最小时有：mg=m

v 2 1

R

，解得v₁=

gR

．
根据机械能守恒定律，有：2mgR+

1

2

mv₁²=

1

2

mv₁′²，解得v₁′=

5gR

．
竖直环A固定在木板B上，环对地面恰好无压力时，球C对环向上的压力为2mg，根据牛顿第三定律，环对球向下的压力为2mg，故在最高点，速度最大时有：mg+2mg=m

v 2 2

R

，解得v₂=

3gR

．
根据机械能守恒定律有：2mgR+

1

2

mv₂²=

1

2

mv₂′²，解得v₂′=

7gR

．
所以保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起，在最低点的速度范围为：

5gR

≤v≤

7gR

．
故：5gR≤v²≤7gR；
故选B．

点评：本题综合考查了牛顿第二定律和机械能守恒定律，关键理清在最高点的两个临界情况，求出在最高点的最大速度和最小速度．