Question

（2013?潮州二模）如图所示，在水平轨道右侧安放半径为R的竖直圆槽形光滑轨道，水平轨道的PQ段铺设特殊材料，调节其初始长度为l；水平轨道左侧有一轻质弹簧左端固定，弹簧处于自然伸长状态．小物块A静止放置在弹簧右端，A与弹簧接触但不拴接；小物块B从轨道右侧以初速度v₀冲上轨道，通过圆形轨道、水平轨道后与物块A发生对心碰撞且瞬间粘连，之后A、B一起压缩弹簧并被弹簧以原速率弹回，经水平轨道返回圆形轨道．物块A、B均可视为质点．已知R=0.2m，l=1.0m，v₀=6m/s，物块A、B质量均为m=1kg，与PQ段间的动摩擦因数均为μ=0.2，轨道其他部分摩擦不计．取g=10m/s²．求：
（1）物块B与物块A碰撞前速度大小；
（2）物块B与物块A碰后返回到圆形轨道的高度；
（3）调节PQ段的长度l，B仍以v₀从轨道右侧冲上轨道，当l满足什么条件时，A、B物块能返回圆形轨道且能沿轨道运动而不会脱离轨道？

Answer 1

分析：（1）对B从初始位置到与A碰撞前过程运用动能定理，求出物块B与物块A碰撞前的速度大小．
（2）根据动量守恒定律求出碰撞后的速度，根据动能定理求出AB整体能够上升的高度，并讨论能否达到此高度．
（3）A、B物块能返回圆形轨道且能沿轨道运动而不会脱离轨道，要么能够越过圆轨道的最高点，要么在圆轨道中上升的高度不要超过圆轨道的半径，结合动能定理、动量守恒定律和牛顿第二定律求出l所满足的条件．

解答：解：（1）物块B冲上圆形轨道后回到最低点速度为v₀=6m/s
与A碰撞前，有-μmgl=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 0

可得，物块B与A碰撞前速度大小v1=4

2

m/s
（2）A、B碰撞粘连，有mv₁=2mv₂
得A、B碰后速度v2=

1

2

v1=2

2

m/s
A、B整体向右经过PQ段，有

v

2 3

-

v

2 2

=-2μgl
得A、B速度v₃=2m/s
A、B整体滑上圆形轨道，有-2mgh=0-

1

2

×2m

v

2 3

（也可以应用 -μ×2mgl-2mgh=

1

2

×2m

v

2 3

-

1

2

×2m

v

2 2

）
可得，返回到右边轨道的高度为h=0.2m=R，符合实际．
（3）物块B以v₀冲上轨道直到回到PQ段右侧，有v

′

2 1

-

v

2 0

=-2μgl
mv'₁=2mv'₂
v

′

2 3

-v

′

2 2

=-2μgl
联立可得，B回到右侧速度v

′

2 3

=

v 2 0

4

-

5

2

μgl=(9-5l)(m/s)2
要使A、B整体能返回右侧轨道且能沿轨道运动而不脱离轨道，则有：
①若A、B整体沿轨道上滑至最大高度h时，速度减为0，则h满足：0＜h≤R
又 

1

2

×2mv

′

2 3

=2mgh
联立可得，1.0m≤l＜1.8m
②若A、B整体能沿轨道上滑至最高点，则满足

1

2

×2mv

′

2 3

=2mg×2R+

1

2

×2mv

′

2 4

且2m

v ′ 2 4

R

≥2mg
联立得 l≤-0.2m，不符合实际，即不可能沿轨道上滑至最高点．  
综上所述，要使A、B物块能返回圆形轨道并沿轨道运动而不脱离轨道，l满足的条件是1.0m≤l＜1.8m
答：（1）物块B与物块A碰撞前速度大小为4

2

m/s．
（2）物块B与物块A碰后返回到圆形轨道的高度为0.2m．
（3）使A、B物块能返回圆形轨道并沿轨道运动而不脱离轨道，l满足的条件是1.0m≤l＜1.8m．

点评：本题综合考查了动量守恒定律、动能定理、牛顿第二定律，以及知道小球不脱离圆轨道的条件，综合性较强，对学生的能力要求较高，需加强训练．