Question

2．如图所示，拉格朗日点L位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动．据此，科学家设想在拉格朗日点L建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动，若该空间站的线速度为v₁、周期为T₁、向心加速度为a₁，月亮的线速度为v₂、周期为T₂、向心加速度为a₂，地球同步卫星线速度为v₃、周期为T₃、向心加速度为a₃．设月球和地球同步卫星均为匀速圆周运动，则下列关系正确的是（　　）

• A． v₃＞v₂＞v₁
• B． T₃＞T₂＞T₁
• C． a₃＞a₂＞a₁
• D． a₃＞a₁＞a₂

Answer 1

分析 由题意知，空间站在L点能与月球同步绕地球运动，其绕地球运行的周期、角速度等于月球绕地球运行的周期、角速度，由加速度公式分析向心加速度的大小关系．

解答 解：A、空间站与月球具有相同的周期与角速度，根据v=ωr知${v}_{2}^{\;}＞{v}_{1}^{\;}$，同步卫星周期1天，空间站的周期等于月球周期大约27天，根据$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{GM}}$故同步卫星轨道半径小于空间站的轨道半径，根据$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，知${v}_{3}^{\;}＞{v}_{2}^{\;}$，故${v}_{3}^{\;}＞{v}_{2}^{\;}＞{v}_{1}^{\;}$，故A正确；
B、根据题意空间站的周期等于月亮的周期，故${T}_{1}^{\;}={T}_{2}^{\;}$，同步卫星周期1天，空间站的周期等于月球周期大约27天，即${T}_{3}^{\;}＜{T}_{2}^{\;}={T}_{1}^{\;}$，故B错误；
CD、空间站与月球具有相同的周期与角速度，根据$a={ω}_{\;}^{2}r$知${a}_{2}^{\;}＞{a}_{1}^{\;}$，根据A分析知同步卫星轨道半径小于空间站的轨道半径，根据$a=\frac{GM}{{r}_{\;}^{2}}$知${a}_{3}^{\;}＞{a}_{2}^{\;}$，所以${a}_{3}^{\;}＞{a}_{2}^{\;}＞{a}_{1}^{\;}$，故C正确，D错误；
故选：AC

点评 本题比较经典，对此类题目要注意掌握万有引力充当向心力和圆周运动向心加速度公式的联合应用