Question

12．如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧下端固定、上端与B物体连接，物体A叠放在B上，A、C两物体通过细线连接并跨放在光滑的滑轮上．初始时控制C使之静止，且绳子刚好拉直但未绷紧．已知A、B、C质量分别为m、2m、2m，C与右侧平台的高度差为d．将C由静止释放后，C向下运动同时带动A、B上升．已知在A、B分离之前C还未落到平台上，且全过程A物体不会碰到滑轮．忽略空气阻力影响，重力加速度为g，已知弹簧弹性势能E_弹与形变量△x之间的关系满足E_弹=$\frac{1}{2}$k△x²．试求在释放C后的运动过程中：
（1）从开始到A、B刚好分离这一过程中，B物体上升的高度；
（2）A、B刚好分离瞬间，B物体的速度；
（3）A物体能够上升的最大高度．

Answer 1

分析 （1）初始状态，绳子无弹力，对AB整体受力分析，由平衡条件求出弹簧的压缩量，A、B刚好分离的瞬间，A、B之间无弹力，A、B、C加速度相等，把A、C选为整体，由牛顿第二定律列式求出加速度，再分别对A和B受力分析根据牛顿第二定律求解即可；
（2）从初始状态到刚好分离时，对A、B、C组成的系统，由机械能守恒列式求解；
（3）设C碰到桌面前瞬间，A、C速度大小为v₂，从C下落到碰到桌面的过程，对AC组成的系统，由机械能守恒列式，C与地面相碰之后，绳子松弛，A物体做竖直上抛，上抛过程中A物体机械能守恒，根据机械能守恒列式，进而求解A物体能够上升的最大高度．

解答 解：（1）初始状态，绳子无弹力，对AB整体受力分析，由平衡条件得：k△x₁=（m_A+m_B）g，解得：$△{x}_{1}=\frac{3mg}{k}$，
A、B刚好分离的瞬间，A、B之间无弹力，A、B、C加速度相等，
把A、C选为整体，由牛顿第二定律得：
m_Cg-m_Ag=（m_C+m_A）a，解得：a=$\frac{1}{3}g$，
对A受力分析，由牛顿第二定律得：T-m_Ag=m_Aa，解得：T=$\frac{4}{3}mg$
A、B刚好分离时，设弹簧压缩量为△x₂，对B受力分析，由牛顿第二定律得：
k△x₂-m_Bg=m_Ba，解得：$△{x}_{2}=\frac{8mg}{3k}$，
则B物体上升的高度为$△{h}_{B}=△{x}_{1}-△{x}_{2}=\frac{mg}{3k}$
（2）从初始状态到刚好分离时，对A、B、C组成的系统，由机械能守恒得：
$\frac{1}{2}k△{{x}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}k△{{x}_{2}}^{2}=（{m}_{A}+{m}_{B}+{m}_{C}）g△{h}_{B}$+$\frac{1}{2}（{m}_{A}+{m}_{B}+{m}_{C}）{{v}_{1}}^{2}$，
解得：${v}_{1}=\sqrt{\frac{11m{g}^{2}}{45k}}$
（3）设C碰到桌面前瞬间，A、C速度大小为v₂，从C下落到碰到桌面的过程，对AC组成的系统，由机械能守恒定律得：m_Cg△h_C-m_Ag△h_C=$\frac{1}{2}（{m}_{C}+{m}_{A}）（{{v}_{2}}^{2}-{{v}_{1}}^{2}）$，且△h_C=d-△h_B
C与地面相碰之后，绳子松弛，A物体做竖直上抛，减速到零，设上抛位移为x，因上抛过程中A物体机械能守恒，则有：${m}_{A}gx=\frac{1}{2}{m}_{A}{{v}_{2}}^{2}$
全过程A物体总的上升高度为：H=d+x
联立以上各式，解得：H=$\frac{4}{3}d+\frac{mg}{90k}$
答：（1）从开始到A、B刚好分离这一过程中，B物体上升的高度为$\frac{mg}{3k}$；
（2）A、B刚好分离瞬间，B物体的速度为$\sqrt{\frac{11m{g}^{2}}{45k}}$；
（3）A物体能够上升的最大高度为$\frac{4}{3}d+\frac{mg}{90k}$．

点评 本题关键是分析求出系统的运动情况，然后结合机械能守恒定律、牛顿第二定律以及胡克定律多次列式求解分析，解题时注意整体法和隔离法的应用，难度适中．