Question

17．如图（甲），横截面为半圆形的玻璃柱圆心为O，半径为R，一屏幕与直径AB平行放置，并靠在玻璃柱右边，一束宽度为2R的平行单色光垂直于直径AB射入玻璃柱，经过折射后在屏幕上出现一个亮斑．已知从半径OA的中点射入玻璃柱的光线CD，从圆弧面射出时出射光线相对于入射光线偏折了15°角．求：
（1）玻璃的折射率n以及光在玻璃中的传播速度v；
（2）屏幕上亮斑的宽度d，并在图（乙）中画出相应的光路图．

Answer 1

分析 （1）对光线CD，根据几何关系确定其入射角和折射角，由折射定律求折射率．由n=$\frac{c}{v}$ 求光在玻璃中的传播速度v．
（2）作出边界光线，即恰好发生全反射的光路，画出相应的光路图，由几何知识求屏幕上亮斑的宽度d．

解答 解：（1）对光线CD，设其入射角为i，折射角为r，由题意可知
  sini=$\frac{1}{2}$，所以i=30°
  r=i+15°=45°
根据折射定律得
  n=$\frac{sini}{sinr}$=$\frac{sin45°}{sin30°}$                         
解得       n=$\sqrt{2}$                          
又    n=$\frac{c}{v}$                           
所以   v=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$×10⁸m/s                 
（2）相应光路图如图（乙）                                              
设照射到E、F点的光线恰好发生全反射，其临界角为C，则
  sinC=$\frac{1}{n}$                       
解得    C=45°                   
根据几何关系可知
   GM=EG=EP=OP-OE=（$\sqrt{2}$-1）R
根据对称性可知，屏幕上亮斑的宽度为
   d=2GM=2（$\sqrt{2}$-1）R                   
答：
（1）玻璃的折射率n是$\sqrt{2}$，光在玻璃中的传播速度v是$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$×10⁸m/s；
（2）屏幕上亮斑的宽度d为2（$\sqrt{2}$-1）R，画出相应的光路图如图．

点评 题作出光路图，根据几何知识求解入射角与折射角是关键．对于全反射，要掌握全反射条件，以及临界角公式．