Question

1．如图所示，竖直环A半径为r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右两侧各有一挡板固定在地上，B不能左右运动，在环的最低点静放有一小球C，A、B、C的质量均为m，现给小球一水平向右的瞬时速度v，小球会在圆环内侧做圆周运动，为保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起，初速度v必须满足（　　）

• A． 最小值为$\sqrt{4gr}$
• B． 最大值为$\sqrt{6gr}$
• C． 最小值为$\sqrt{5gr}$
• D． 最大值为$\sqrt{7gr}$

Answer 1

分析 小球在环内侧做圆周运动，通过最高点速度最小时，轨道对球的最小弹力为零，根据牛顿第二定律求出小球在最高点的最小速度；为了不会使环在竖直方向上跳起，小球在最高点对轨道的弹力不能大于5mg，根据牛顿第二定律求出最高点的最大速度，再根据机械能守恒定律求出小球在最低点的速度范围．

解答 解：在最高点，速度最小时有：mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得：v₁=$\sqrt{gR}$．
从最高点到最低点的过程中，机械能守恒，设最低点的速度为v₁′，根据机械能守恒定律，有：
2mgR+$\frac{1}{2}$mv₁²=$\frac{1}{2}$mv₁′²
解得：v₁′=$\sqrt{5gR}$．
要使不会使环在竖直方向上跳起，环对球的压力最大为：
F=2mg+3mg=5mg
从最高点到最低点的过程中，机械能守恒，设此时最低点的速度为v₂′，
在最高点，速度最大时有：mg+5mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
解得：v₂=$\sqrt{6gR}$．
根据机械能守恒定律有：2mgR+$\frac{1}{2}$mv₂²=$\frac{1}{2}$mv₂′²
解得：v₂′=$\sqrt{10gR}$．
所以保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起，在最低点的速度范围为：$\sqrt{5gR}$≤v≤$\sqrt{10gR}$．故CD正确，AB错误．
故选：CD．

点评 本题综合考查了牛顿第二定律和机械能守恒定律，关键理清在最高点的两个临界情况，求出在最高点的最大速度和最小速度．