Question

1．如图所示，空间区域Ⅰ、Ⅱ有匀强电场和匀强磁场，其中电场方向竖直向上，区域Ⅰ中磁场垂直纸面向内，区域Ⅱ中磁场垂直纸面向外，磁感应强度大小均为B=$\frac{mv}{qd}$，矩形区域足够长，宽为2d，在AD边中点O处有一粒子源，沿纸面向磁场中各方向均匀地辐射出速率均为v的带电粒子，该粒子进入场区后恰能作匀速圆周运动，带电粒子质量m，电荷量为q．已知重力加速度为g．
（1）试判断该粒子的电性并求出电场强度的大小；
（2）从BC边界射出的粒子中，从哪一点射出运动的时间最短？最短时间为多少？

Answer 1

分析 （1）带电粒子进入复合场后，恰能做匀速圆周运动，合力为洛伦兹力，重力与电场力平衡，列出平衡方程求出电场强度；
（2）粒子作两次圆周运动以后才能从BC边离开，当在Ⅰ、Ⅱ区域中均有最短运动时间时，总时间也最短，根据几何知识，半径一定时，弦最短的圆弧所对应圆心角最小，运动时间最短．粒子最终从BC的中点飞出时，时间最短，由几何关系求出圆心角，求出运动时间；

解答 解：（1）带电粒子进入复合场后，恰能做匀速圆周运动，合力为洛伦兹力，重力与电场力平衡，重力竖直向下，电场力竖直向上，即小球带正电．由qE=mg解得：$E=\frac{mg}{q}$
（2）由$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
可得粒子在磁场中的轨迹半径R=d
粒子作两次圆周运动以后才能从BC边离开，当在Ⅰ、Ⅱ区域中均有最短运动时间时，总时间也最短，根据几何知识，半径一定时，弦最短的圆弧所对应圆心角最小，运动时间最短．如图所示，粒子最终从BC的中点飞出时，时间最短

如图所示，EO⊥AD，因为$\overline{EO}=2R$，对应的圆心角$θ=\frac{π}{3}$
又因为 $qvB=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$ 得运动周期为：$T=\frac{2πm}{qB}$
运动时间为：$t=\frac{θ}{2π}T=\frac{\frac{π}{3}}{2π}\frac{2πm}{qB}=\frac{πm}{3qB}$，
根据对称性可知总时间为：t_总=2t=$\frac{2πm}{3qB}$ 即为最短时间 
答：（1）该粒子的带正电并求出电场强度的大小$\frac{mg}{q}$；
（2）从BC边界射出的粒子中，从BC中点射出运动的时间最短，最短时间为$\frac{2πm}{3qB}$

点评 本题考查带电粒子在复合场中的运动，关键是要能正确的画出粒子的运动轨迹，根据几何关系找出圆心，求出半径，再根据洛伦兹力提供向心力列式求解．