Question

一艘宇宙飞船绕着某行星作匀速圆周运动，已知圆周运动的轨道半径为r，运行周期为T，引力常量为G，行星半径为R，试求（用题中已知量表示）：
（1）行星的质量M；
（2）物体在该行星表面附近做自由落体运动时的加速度a；
（3）卫星围绕该行星做匀速圆周运动时的最大速度Vm．

Answer 1

分析：（1）根据万有引力提供向心力，结合轨道半径和周期求出行星的质量．
（2）根据万有引力等于重力得出行星表面的重力加速度，即自由落体运动的加速度．
（3）当卫星的轨道半径最小时，卫星做匀速圆周运动的线速度最大，根据万有引力提供向心力求出卫星做匀速圆周运动时的最大速度．

解答：解：（1）行星对飞船的万有引力提供飞船所需向心力：G

Mm

r2

=m(

2π

T

)2r
解得    M=

4π2r3

GT2

（2）根据万有引力等于重力得：G

Mm

R2

=mg=ma
解得  a=

GM

R2

=

4π2r3

R2T2

（3）卫星在行星附近作匀速圆周运动时的速度最大，即第一宇宙速度：G

Mm′

R2

=m′

v2

R

    v=

GM R

=

4π2r3 RT2

答：（1）行星的质量M=

4π2r3

GT2

．
（2）物体在该行星表面附近做自由落体运动时的加速度为

4π2r3

R2T2

．
（3）卫星围绕该行星做匀速圆周运动时的最大速度为

4π2r3 RT2

．

点评：解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，并能灵活运用．