Question

14．宇航员在地球和某星球表面做了两个对比实验．实验一：在该星球和地球上以同样的高度和初速度平抛同一物体，发现其水平射程是地球上的4倍．实验二：飞船绕该星球表面的运行周期是它绕地球表面运行周期的2倍．则该星球与地球的质量之比和半径之比分别是（　　）

• A． $\frac{1}{256}$，$\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{256}$，$\frac{1}{8}$
• C． $\frac{1}{64}$，$\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{16}$，$\frac{1}{1}$

Answer 1

分析 根据平抛运动知识求出该星球与地球表面重力加速度之比．飞船绕该星球表面和地球表面运行时，根据万有引力提供向心力，求出该星球与地球的半径之比．由万有引力与重力近似相等，求出该星球与地球的质量之比．

解答 解：设物体平抛运动的高度和初速度分别为h和v₀，水平射程为x，则有：
x=${v}_{0}\sqrt{\frac{2h}{g}}$
则得到该星球与地球表面重力加速度之比为：g_星：g_地=${{x}_{地}}^{2}：{{x}_{星}}^{2}$=1：16
飞船绕该星球表面和地球表面运行时，由重力提供向心力，则有：
mg=m$\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$，
得：R=$\frac{g{T}^{2}}{4{π}^{2}}$
代入得到：该星球与地球的半径之比为：R_星：R_地=1：4
又由重力近似等于万有引力，得：
mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$
得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
则得到该星球与地球的质量之比为：M_星：M_地=1：256
故选：A

点评 本题是万有引力定律与平抛运动、圆周运动的综合，采用比例法求解．