Question

磁悬浮列车是一种高速低耗的新型交通工具．它的驱动系统简化为如下模型，固定在列车下端的动力绕组可视为一个矩形纯电阻金属框，电阻为R，金属框置于xOy平面内，长边MN长为L平行于y轴，宽为d的NP边平行于x轴，如图1所示．列车轨道沿Ox方向，轨道区域内存在垂直于金属框平面的磁场，磁感应强度B沿O x方向按正弦规律分布，其空间周期为λ，最大值为B₀，如图2所示，金属框同一长边上各处的磁感应强度相同，整个磁场以速度v₀沿Ox方向匀速平移．设在短暂时间内，MN、PQ边所在位置的磁感应强度随时间的变化可以忽略，并忽略一切阻力．列车在驱动系统作用下沿Ox方向加速行驶，某时刻速度为v(v0)．
(1)简要叙述列车运行中获得驱动力的原理；
(2)为使列车获得最大驱动力，写出MN、PQ边应处于磁场中的什么位置及λ与d之间应满足的关系式；
(3)计算在满足第(2)问的条件下列车速度为v时驱动力的大小．

Answer 1

(1)由于列车速度与磁场平移速度不同,导致穿过金属框的磁通量发生变化,由于电磁感应,金属框中会产生感应电流,该电流受到的安培力即为驱动力.(2)为使列车获得最大驱动力,MN、PQ应位于磁场中磁感应强度同为最大值且反向的地方,这会使得金属框所围面积的磁通量变化率最大,导致框中电流最强,也会使得金属框长边中电流受到的安培力最大,因此,d应为λ/2的奇数倍,即(3)由于满足第(2)问条件，则MN、PQ边所在处的磁感应强度大小均为B₀且方向总相反，经短暂时间Δt，磁场没Ox方向平移的距离为v₀Δt,，同时，金属框沿Ox方向移动的距离为vΔt．因为v₀＞v，所以在Δt时间内MN边扫过磁场的面积S=(v₀－v)LΔt在此Δt时间内，MN边左侧穿过S的磁通量移进金属框而引起框内磁通量变化ΔΦ_MN=B₀L(v₀－v) Δt同理，在Δt时间内，PQ边左侧移出金属框的磁通量引起框内磁通量变化ΔΦ_PQ=B₀L(v₀－v) Δt故在Δt时间内金属框所围面积的磁通量变化ΔΦ＝ΔΦ_MN＋ΔΦ_PQ根据法拉第电磁感应定律,金属框中的感应电动势大小根据闭合电路欧姆定律有根据安培力公式,MN边所受的安培力F_MN=B₀ILPQ边所受的安培力F_PQ=B₀IL根据左手定则,MN、PQ边所受的安培力方向相同,此时列车驱动力的大小F=F_MN+FPQ=2B₀IL联立解得