Question

如图所示，竖直放置的半圆形绝缘轨道半径为R，下端与绝缘水平面平滑连接，整个装置处于方向竖直向上的匀强电场E中．一质量为m、带电量为+q的物块（可视为质点），从水平面上的A点以初速度v₀水平向左运动，沿半圆形轨道恰好通过最高点C，场强大小E＜

mg

q

．
（1）物块经过最高点C的速度为多大？
（2）试计算物块在运动过程中克服摩擦力做的功．
（3）证明物块离开轨道落回水平面的水平距离与场强大小E无关，且为一常量．

Answer 1

分析：（1）物块恰能通过圆弧最高点C，由重和电场力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出物块通过最高点C时的速度；
（2）物块在运动过程中，重力做负功，电场力做正功，摩擦力做负功，根据动能定理求解克服摩擦力做的功；
（3）物块离开半圆形轨道后做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，由运动学公式即可证明．

解答：解：（1）物块恰能通过圆弧最高点C，圆弧轨道此时与物块间无弹力作用，物块受到的重力和电场力提供向心力，则有
   mg-Eq=m

vc2

R

①
解得，vc=

R(g- Eq m )

②
（2）物块在由A运动到C的过程中，设物块克服摩擦力做的功W_f，根据动能定理有
  Eq?2R-Wf-mg?2R=

1

2

mvc2-

1

2

mv02 ③
解得，Wf=

1

2

mv02+

5

2

(Eq-mg)R④
（3）物块离开半圆形轨道后做类平抛运动，设水平位移为s，
  s=v_ct        ⑤
2R=

1

2

(g-

Eq

m

)?t2⑥
由⑤⑥联立解得
  s=2R           ⑦
因此，物块离开轨道落回水平面的水平距离与场强大小E无关，大小为2R．
答：（1）物块经过最高点C的速度为

R(g- Eq m )

；
（2）物块在运动过程中克服摩擦力做的功是

1

2

m

v

2 0

+

5

2

（Eq-mg）R．
（3）证明见上．

点评：本题是向心力与动能定理、平抛运动等等知识的综合，关键要抓住物块恰能通过最高点C的临界条件，求出临界速度．