Question

如图所示，一轻弹簧竖直放置在地面上，轻弹簧下端与地面固定，上端连接一质量为M的水平钢板，处于静止状态．现有一质量为 m 的小球从距钢板 h=5m的高处自由下落并与钢板发生碰撞，碰撞时间极短且无机械能损失．己知 M=3m，不计空气阻力，g=10m/s²．
（ l ）求小球与钢板第一次碰撞后瞬间，小球的速度 v₁和钢板的速度 v₂．
（ 2 ）如果钢板作简谐运动的周期为 2.0s，以小球自由下落的瞬间为计时起点，以向下方向为正方向，在下图中画出小球的速度 v 随时间 t 变化的v-t 图线．要求至少画出小球与钢板发生四次碰撞之前的图线．（不要求写出计算过程，只按画出的图线给分）

Answer 1

分析：（1）小球与钢板的碰撞时间且无机械能损失，是弹性碰撞，两者的动量和机械能均守恒，根据两大守恒定律列式，可求得第一次碰撞后瞬间小球的速度v₁和钢板的速度v₂．
（2）根据第一次碰后，根据速度知道小球做竖直上抛运动，求出上抛运动的总时间，分析此时间与简谐运动周期的关系，结合弹性碰撞的规律，分析此后小球的运动情况，作出v-t图象．

解答：解：（1）设小球与钢板第一次碰撞前瞬时的速度大小v₀，小球与钢板第一次碰撞后，小球与钢板的速度分别为v₁和v₂．取竖直向下方向为正方向．
由机械能守恒得：mgh=

1

2

mv

2 0

，解得，v₀=

2gh

=10m/s
对于碰撞过程，由动量守恒和机械能守恒得：
   mv₀=mv₁+Mv₂ ①
  

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 1

+

1

2

M

v

2 2

 ②
又M=3m  ③
联立①②③得：v₁=-5m/s，v₂=5m/s，即小球与钢板第一次碰撞后，小球的速度v₁为 5m/s，方向向上；钢板的速度v₂为 5m/s 方向向下．
（ 2 ）由上知，第一碰撞后小球作竖直上抛运动，总时间为t₁=

2v1

g

=1s，而钢板作简谐运动的周期为T=2.0s，所以两者会在第一碰撞位置发生第二碰撞．
设第二次碰撞后，小球与钢板的速度分别为v₁′和v₂′．
由动量守恒和机械能守恒得：
   mv₁-Mv₂=mv₁′+Mv₂ ′
  

1

2

m

v

2 1

+

1

2

M

v

2 2

=

1

2

m

v

′2 1

+

1

2

M

v

′2 2

又M=3m
联立以上三式解得，v₁′=-10m/s，v₂′=0．
此后小球竖直上抛运动，时间为t₂=

2v′

g

=2s=T，恰好经过2s后发生第三次碰撞，第三次碰撞与第一次碰撞相同．画出小球的v-t图线如下图所示（小球与钢板第二次碰撞后，小球的速度为 10m/s，方向向上；钢板的速度为零）

答：
（1）小球与钢板第一次碰撞后，小球的速度v₁为 5m/s，方向向上；钢板的速度v₂为 5m/s 方向向下．
（2）小球的v-t图线如图所示．

点评：本题是含有弹性碰撞的复杂物理过程，分析每个过程遵守的物理规律是关键，抓住弹性碰撞的基本规律动量守恒和机械能守恒求碰后速度，结合竖直上抛运动的规律进行分析和研究，综合性很强．