Question

（14分）如图所示，在x轴上方有一匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于纸面向里，大小为B，x轴下方有一匀强电场，电场强度的大小为E，方向与y轴的夹角θ为45°且斜向上方。现有一质量为m电量为q的正离子，以速度v₀由y轴上的A点沿y轴正方向射入磁场，该离子在磁场中运动一段时间后从x轴上的C点进入电场区域，该离子经C点时的速度方向与x轴夹角为45°。不计离子的重力，设磁场区域和电场区域足够大。求：

⑴C点的坐标；
⑵离子从A点出发到第三次穿越x轴时的运动时间；
⑶离子第四次穿越x轴时速度的大小及速度方向与电场方向的夹角。

Answer 1

⑴（，0）   ⑵  ⑶ 

试题分析：⑴带电粒子在匀强磁场中在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：
  解得：
粒子运动轨迹如图所示，由几何知识知，

x_C＝－（r＋rcos45⁰）＝ 
故C点坐标为（，0）
⑵带电粒子在匀强磁场中在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动的周期为 
设粒子从A到C的时间为t₁，由题意知粒子从A运动C，转过225°角，则 
设粒子从进入电场到返回C的时间为t₂，其在电场中先做匀减速直线运动，速度减到零后做匀加速直线运动返回，由牛顿第二定律和运动学知识，有
 
  
联立解得  
设粒子再次进入磁场后在磁场中运动的时间为t₃，由题意知第二次穿越x轴，进入磁场后，转过90°后第三次穿越x轴进入电场，则 
故而，粒子从A点到第三次穿越x轴的时间为： 
⑶粒子从第三次过x轴到第四次过x轴的过程是在电场中做类似平抛的运动，即沿着v₀的方向（设为x′ 轴）做匀速运动，即
     ①        ②    
沿着qE的方向（设为y′轴）做初速为0的匀变速运动，即     ③
      ④
设离子第四次穿越x轴时速度的大小为v，速度方向与电场方向的夹角为α．
由图中几何关系知   ⑤，……⑥     ⑦
联立①②③④⑤⑥⑦解得