Question

一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s²的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边赶过汽车．试求：

(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？

(2)什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(1)汽车开动后速度由零逐渐增大，而自行车的速度是定值．当汽车的速度还小于自行车速度时，两者的距离将越来越大，而一旦汽车速度增加到超过自行车速度时，两车距离就将缩小．因此两者速度相等时两车相距最大(以上分析紧紧抓住了“速度关系”及“位移关系”进行分析)，有： 　　　　 v汽＝at＝v自， 　　∴    t＝v自/a＝6/3s＝2s　 　　  　Δs＝v自t－at2/2＝(6×2－3×22/2)m＝6m． 　　解法二：用数学求极值方法来求解：设汽车在追上自行车之前经t时间两车相距最远， 　　∵  Δs＝s1－s2＝v自t－at2/2 　　∴   Δs＝6t－3t2/2， 由二次函数求极值条件知， 　　    t＝－b/2a＝6/3s＝2s时，Δs最大． 　　∴Δsm＝6t－3t2/2＝6×2－3×22/2m＝6m． 　　(2)汽车追上自行车时，二车位移相等，则， 　　   6×＝32/2，＝4s． 　　   ＝a＝3×4＝12m/s． 　　解法三：(1)用相对运动求解更简捷：选匀速运动的自行车为参考系，则从运动开始到相距最远这段时间内，汽车相对此参考系的各个物理量为： 　　初速度 v0＝v汽初－v自＝(0－6)m/s＝－6m/s， 　　末速   vt＝v汽末－v自＝6－6＝0 　　加速度 a＝a汽－a自＝(3－0)m/s2＝3m/s2 　　∴相距最远s＝m＝－6m(负号表示汽车落后) 　　解法四：用图像求解．(1)自行车和汽车的v－t图如图，由于图线与横坐标轴所包围的面积表示位移的大小，所以由图上可以看出：在相遇之前，在t时刻两车速度相等时，自行车的位移(矩形面积)与汽车的位移(三角形面积)之差(即斜线部分)达最大，所以： 　　　　 t＝v自/a＝6/3＝2(s) 　　　 　Δs＝vt－at2/2＝6×2－3×22/2＝6(m)． 　　(2)由图可看出：在t时刻以后，由v自或与v汽线组成的三角形面积与标有斜线的三象形面积相等时，两车的位移相等(即相遇)．所以由图得相遇时， 　　　　 ＝2t＝4(s)，＝2v自＝12(m/s)