Question

如图所示，在x轴上方有一匀强电场，场强为E，方向竖直向下．在x轴下方有一匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里．在x轴上有一点P，离原点的距离为a．现有一带电量+q的粒子，质量为m，从静止开始释放，要使粒子能经过P点，其初始坐标应满足什么条件？（重力作用忽略不计）

Answer 1

分析：要使粒子从静止开始能经过P点，其初始位置必须在匀强电场区域里，由电场加速获得速度才能到达P点．题中P点的位置未知，分情况进行讨论：
1、若粒子从y轴上由静止释放，则粒子先加速后磁场偏转，由几何知识得到磁场中圆周运动的半径与OP距离间的关系：a=2nR （=n=1，2，3，…）．分别根据动能定理和牛顿第二定律求解电场加速粒子获得的速度、磁场中轨迹半径表达式，即可求出初始坐标满足的条件；
2、若粒子在电场中的起点坐标为（x，y₂），分x＞a，x=a，x＜a三种情况讨论，用同样的方法求解．

解答：解：要使粒子能经过P点，其初始位置必须在匀强电场区域里．由于没有明确粒子所在的位置，分两种情况讨论：
（1）若粒子从y轴上由静止释放，在电场加速下沿y轴从原点O进入磁场做半径为R的匀速圆周运动．由于粒子可能偏转一个、十个…半圆到达P点，由几何知识得
   a=2nR （n=1，2，3，…） ①
设释放处距O的距离为y₁，则有
   qEy₁=

1

2

mv2    ②
又 qvB=m

v2

R

      ③
由①②③得，y₁=

B2qa2

8n2mE

 （n=1，2，3，…）
（2）若粒子在电场中的起点坐标为（x，y₂）
据题意分析，有
  若x＞a，根据左手定则判断可知，粒子不可能经过P点；
  若x=a，不论取值如何，粒子均能经过P点；
  若x＜a，则 a-x=2nR（n=1，2，3，…）
同理可得
  y₂=

B2q(a-x)2

8n2mE

（n=1，2，3，…）
答：要使粒子能经过P点，其初始坐标应满足条件是：
（1）若粒子从y轴上由静止释放，y₁=

B2qa2

8n2mE

（n=1，2，3，…）；
（2）若粒子在电场中的起点坐标为（x，y₂），
x=a或x＜a，y₂=

B2q(a-x)2

8n2mE

（n=1，2，3，…）．

点评：本题是多解问题，在条件不明时，要分情况进行讨论，不能漏解．分析时，要画出粒子运动的轨迹，根据几何关系得到粒子运动的半径与OP距离的关系是本题解题的关键．