Question

如右图所示，质量为m的物体恰好能在倾角为α的斜面上匀速下滑，如在物体上施加一个力F使物体沿斜面匀速上滑，为了使得力F取最小值，这个力与斜面的倾斜角θ为多大？这个力的最小值是多少？（设斜面长l）

Answer 1

分析：先根据物体恰好匀速下滑求出摩擦因数，然后根据平衡条件列方程求解．

解答：解：物体从斜面的上端恰好能匀速下滑，由平衡条件得?：
mg sin α=μmg cos α
μ=tg α
在F的作用下物体向斜面上运动的过程中，F的沿斜面分量及物体与斜面间的滑动摩擦力均与θ角的大小有关，在力F拉物体沿斜面匀速上升时，根据物体的平衡条件得（选沿斜面向上方向为x轴正方向，垂直于斜面向上为y轴正方向）：?
F cosθ-mg sin α-f=0（1）
F sinθ+N-mg cos α=0（2）
其中N为斜面对物体的支持力，且f=μN=tanαN．由（1）、（2）两式可以解得?
F=

sinα+μcosα

cosθ+μsinθ

mg
上式中分子（sin α+μ cos α）mg是一个确定值，F的大小随分母变化．分母
?cosθ+μsinθ=

1+μ

[

1

1+μ2

cosθ+

μ

1+μ

sinθ]=sin（φ+θ）?
当?sin（φ+θ）=1，即φ+θ=90°时，分母最大F最小．
因为φ=arctg

1

μ

，所以θ=90°-φ=arctgμ时F取小值

sinα+μcosα

1+μ2

mg．
答：以θ=arctgμ时F取小值

sinα+μcosα

1+μ2

mg．

点评：本题考查了受力分析以及力的平衡，关键是分析数学解析式的极值问题，难度稍大．