Question

一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角
θ=30°，如图所示，一条长度为l的轻绳，一端的位置固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着着一个质量为m的小物体（可视为质点）．物体以速率υ绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动．则：
①当υ=

gl 4

时，绳的拉力大小为多少？
②当υ=

3 2 gl

时，绳的拉力大小为多少？

Answer 1

分析：先求出物体刚要离开锥面时的速度，此时支持力为零，根据牛顿第二定律求出该临界速度．
当速度大于临界速度，则物体离开锥面，当速度小于临界速度，物体还受到支持力，根据牛顿第二定律，物体在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，求出绳子的拉力．

解答：解：当物体刚离开锥面时，设其速度为v₀，则根据牛顿第二定律得：Tcosθ-mg=0，
由拉力与重力的合力提供向心力，则有：mgtanθ=m

v 2 0

lsinθ

解之得：v₀=

3 6 gl

①v=

gl 4

＜v₀，则球会受到斜面的支持力，因此由支持力、重力与拉力的合力提供向心力．
对球受力分析，如图所示，则有
 T₁sinθ-N₁cosθ=m

v 2

lsinθ

①
 T₁cosθ+N₁sinθ=mg ②
由①②联式解之得：T₁=

1+2 3

4

mg；
②v=

3 2 gl

＞v₀，球离开斜面，只由重力与拉力的合力提供向心力，且细绳与竖直方向夹角已增大．
如图所示，设线与竖直方向上的夹角为α，
 T₂sinα=m

v2

lsinα

 ③
 T₂cosα=mg  ④
由③④联式解得：T₂=2mg．
答：
①当υ=

gl 4

时，绳的拉力大小为

1+2 3

4

mg．
②当υ=

3 2 gl

时，绳的拉力大小为2mg．

点评：解决本题的关键找出物体的临界情况，以及能够熟练运用牛顿第二定律求解．