Question

1．某星球的质量为M，在该星球表面某一倾角为θ的山坡上（相当于是倾角为θ的斜面）以初速度v₀平抛一物体，经过时间t该物体落到山坡上．（不计一切阻力，万有引力常数为G）求：
（1）在该星球表面的重力加速度g
（2）欲使该物体不再落回该星球的表面，至少应以多大的速度抛出该物体？

Answer 1

分析 抓住平抛运动竖直位移和水平位移的关系，结合运动学公式求出星球表面的重力加速度．
根据万有引力等于重力求出星球的半径，结合重力提供向心力求出最小速度．

解答 解：（1）根据tanθ=$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}=\frac{gt}{2{v}_{0}}$，
解得星球表面的重力加速度为：g=$\frac{2{v}_{0}tanθ}{t}$．
（2）根据mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$得：v=$\sqrt{gR}$，
又GM=gR²，解得：R=$\sqrt{\frac{GM}{g}}$，
则有：v=$\sqrt{\sqrt{GMg}}=（\frac{2GM{v}_{0}tanθ}{t}）^{\frac{1}{4}}$．
答：在该星球表面的重力加速度为$\frac{2{v}_{0}tanθ}{t}$．
（2）欲使该物体不再落回该星球的表面，至少应以$（\frac{2GM{v}_{0}tanθ}{t}）^{\frac{1}{4}}$的速度抛出该物体．

点评 本题考查了平抛运动与万有引力定律的综合，通过平抛运动的规律求出星球表面的重力加速度是关键，掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，并能灵活运用．