Question

10．一艘宇宙飞船绕地球作圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示，太阳光可看作平行光，宇航员在A点测出地球的张角为α，已知地球的半径为R，地球质量为M，引力常量为G，求：
（1）宇宙飞船离距地面的高度．
（2）宇宙飞船的周期T．

Answer 1

分析 （1）由图根据数学知识求宇宙飞船离距地面的高度．
（2）宇宙飞船绕地球作圆周运动时由地球的万有引力提供向心力，由此求解宇宙飞船的周期T．

解答 解：（1）设飞船做圆周运动的半径为r，距离地面的高度为h．
由几何关系知 $sin（\frac{α}{2}）=\frac{R}{r}$…①
距离地面的高度为 h=r-R…②
由①②解得：$h=\frac{{（1-sin\frac{α}{2}）}}{{sin\frac{α}{2}}}R$…③
（2）由万有引力提供做圆周运动所需的向心力得：$G\frac{Mm}{r^2}=m{（\frac{2π}{T}）^2}r$…④

由①④解得：$T=2π\frac{R}{{sin（\frac{α}{2}）}}\sqrt{\frac{R}{{GMsin（\frac{α}{2}）}}}$…⑤
答：
（1）宇宙飞船离距地面的高度是$\frac{（1-sin\frac{α}{2}）R}{sin\frac{α}{2}}$．
（2）宇宙飞船的周期T为2π$\frac{R}{sin\frac{α}{2}}$$\sqrt{\frac{R}{GMsin（\frac{α}{2}）}}$．

点评 本题关键利用几何关系得出飞船的轨道半径，掌握万有引力提供做圆周运动所需的向心力这一基本思路，并能准确运用．