Question

9．宇航员在地球表面，以一定初速度竖直上抛一小球，测得小球从抛出到返回的时间为t；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，小球从抛出到返回时间为25t．若已知该星球的半径与地球半径之比为R₂：R₁=1：4，空气阻力不计．则（　　）

• A． 该星球表面的重力加速度与地球表面重力加速度之比为25：1
• B． 该星球的密度与地球密度之比为4：25
• C． 该星球与地球第一宇宙速度之比为10：1
• D． 在该星球与地球上自相同高度处以相同初速度平抛物体的水平射程之比为25：1

Answer 1

分析 由竖直上抛可以得到地球和星球表面重力加速度之比；
由万有引力提供向心力可得质量，进而可比较密度；
重力提供向心力，速度为第一宇宙速度；
由平抛运动规律可得水平射程之比．

解答 解：A、竖直上抛具有对称性，上下时间相等，故可得：v₀=g•$\frac{t}{2}$，故星球表面重力加速度和地球表面重力加速度之比为g′：g=1：25，故A错误．
B、由mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$，解得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，密度为：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3g}{4πGR}$，故密度之比为：ρ₂：ρ₁=$\frac{g′}{{R}_{2}}：\frac{g}{{R}_{1}}$=4：25，故B正确．
C、重力提供向心力，速度为第一宇宙速度，可得：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：v=$\sqrt{gR}$，故该星球与地球第一宇宙速度之比为$\sqrt{1×1}$：$\sqrt{25×4}$=1：10，故C错误．
D、由平抛规律可得：
x=v₀t，
h=$\frac{1}{2}$gt²，
解得：
x=v₀$\sqrt{\frac{2h}{g}}$．
故在该星球与地球上自相同高度处以相同初速度平抛物体的水平射程之比：
x′：x=$\sqrt{\frac{1}{g′}}$：$\sqrt{\frac{1}{g}}$=$\sqrt{\frac{1}{25}}$：$\sqrt{\frac{1}{1}}$=1：5．
故D错误．
故选：B

点评 利用好星球上的竖直上抛或平抛运动是解决星球重力加速度的常用手段，结合万有引力提供向心力可解决问题．