Question

【题目】如图所示,在某竖直平面内,光滑曲面AB与水平面BC平滑连接于B点,BC右端连接内壁光滑、半径r=0.2m的四分之一细圆管CD,管口D端正下方直立一根劲度系数为k=100N/m的轻弹簧,弹簧一端固定,另一端恰好与管口D端平齐.一个质量为1kg的小球放在曲面AB上,现从距BC的高度为h=0.6m处静止释放小球,它与BC间的动摩擦因数μ=0.5,小球进入管口C端时,它对上管壁有FN=2.5mg的作用力.取重力加速度g=10m/s2.

（1）小球在C处受到的向心力大小;

（2）水平面BC段的长度；

（3）在压缩弹簧过程中小球的最大动能Ekm.

Answer 1

【答案】（1）35N（2）0.5m（3）6J

【解析】

（1）通过受力分析得到竖直方向的合外力即向心力；

（2）由向心力求得速度，再对AC运动过程应用动能定理即可求解；

（3）根据速度最大时受力平衡求得弹簧压缩量（由弹性势能亦可求），再对下落过程应用动能定理即可求解．

（1）小球进入管口C端时，它与圆管上管壁有大小为F=2.5mg的相互作用力，故小球受到的向心力为：F向=2.5mg+mg=3.5mg=3.5×1×10N=35N；
（2）在C点应用牛顿第二定律有：；
小球从A点运动到C点过程，只有重力、摩擦力做功，故由动能定理可得：
mghμmgs＝ ；
所以有： ；
（3）在压缩弹簧过程中速度最大时，合力为零．设此时小球离D端的距离为x0，则有kx0=mg
所以，x0＝＝0.1m；
小球下落过程只有重力、弹簧弹力做功，故机械能守恒，则由机械能守恒定律有：
mg(r+x0)+mvC2＝Ekm+Ep；
所以，Ekm＝mg(r+x0)+mvC2Ep=mg(r+x0)+F向rEp＝6J；