Question

12．如图所示，一对加有恒定电压的平行金属极板竖直放置，板长、间距均为d．在右极板的中央有个小孔P，小孔右方半径为R 的圆形区域内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，区域边界刚好与右极板在小孔在P处相切，一排宽度也为d的带负电粒子以速度V0竖直向上同时进入两极板间后，只有一个粒子通过小孔P进入磁场，其余全部打在右极板上，且最后一个到达极板的粒子刚好打在右极板的上边缘．已知这排粒子中每个粒子的质量均为m、电荷量大小均为q，磁场的感应强度大小为$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qR}$，不计粒子的重力及粒子间的相互作用力，求：
（1）板间的电压大小U；
（2）通过小孔P的粒子离开磁场时到右极板的距离L；
（3）通过小孔P的粒子在电场和磁场中运动的总时间t_总．

Answer 1

分析 （1）根据粒子做类平抛运动，结合运动的合成与分解，及牛顿第二定律与运动学公式，即可求解；
（2）根据速度的合成法则，结合圆周运动的半径公式，即可求解；
（3）根据粒子在电场中，由运动学公式求得运动的时间，再根据在磁场中，轨迹对应的圆心角，求得在磁场中运动时间，最后即可求解总时间．

解答 解：（1）粒子在电场力作用下，做类平抛运动，根据牛顿第二定律与运动学公式，则有：
水平方向有：$d=\frac{1}{2}a{t}^{2}$；
竖直方向有：d=v₀t；
而a=$\frac{qU}{md}$；
解得：U=$\frac{2m{v}_{0}^{2}}{q}$；

（2）粒子从P点进入磁场时的速度大小，设为v，则有：
v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+（a×\frac{\frac{d}{2}}{{v}_{0}}）^{2}}$=$\sqrt{2}$v₀；
且速度与竖直板夹角为45°；根据圆周运动的半径公式，则有：
r=$\frac{m•\sqrt{2}{v}_{0}}{Bq}$
而磁场的感应强度大小为：B=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qR}$，
解得：r=R；
根据几何关系，可知，离开磁场时到右极板的距离为：L=$\sqrt{{R}^{2}+{R}^{2}}$=$\sqrt{2}$R；
（3）粒子在电场力作用下，做类平抛运动，所需要时间为：t₁=$\frac{\frac{d}{2}}{{v}_{0}}$=$\frac{d}{2{v}_{0}}$；
而粒子在磁场中，与水平方向夹角为45°，那么出磁场时，也与水平方向夹角为45°，因此在磁场中运动时间为：
t₂=$\frac{T}{4}$=$\frac{1}{4}×$$\frac{2πm}{Bq}$=$\frac{\sqrt{2}πR}{{v}_{0}}$；
那么通过小孔P的粒子在电场和磁场中运动的总时间为：
t_总=t₁+t₂=$\frac{d+2\sqrt{2}πR}{2{v}_{0}}$；
答：（1）板间的电压大小$\frac{2m{v}_{0}^{2}}{q}$；
（2）通过小孔P的粒子离开磁场时到右极板的距离$\sqrt{2}$R；
（3）通过小孔P的粒子在电场和磁场中运动的总时间$\frac{d+2\sqrt{2}πR}{2{v}_{0}}$．

点评 考查粒子在电场中类平抛运动与磁场中匀速圆周运动，掌握牛顿第二定律与运动学公式的应用，理解向心力表达，注意结合几何关系画出运动轨迹是解题的关键．