Question

根据玻尔理论，电子绕氢原子核运动可以看作是仅在库仑引力作用下的匀速圆周运动，已知电子的电荷量为e，质量为m，电子在第1轨道运动的半径为r₁，静电力常量为k。
（1）电子绕氢原子核做圆周运动时，可等效为环形电流，试计算电子绕氢原子核在第1轨道上做圆周运动的周期及形成的等效电流的大小；
（2）氢原子在不同的能量状态，对应着电子在不同的轨道上绕核做匀速圆周运动，电子做圆周运动的轨道半径满足r_n=n²r₁，其中n为量子数，即轨道序号，r_n为电子处于第n轨道时的轨道半径。电子在第n轨道运动时氢原子的能量E_n为电子动能与“电子-原子核”这个系统电势能的总和。理论证明，系统的电势能E_p和电子绕氢原子核做圆周运动的半径r存在关系：E_p=-k（以无穷远为电势能零点）。请根据以上条件完成下面的问题。
①试证明电子在第n轨道运动时氢原子的能量E_n和电子在第1轨道运动时氢原子的能量E₁满足关系式
②假设氢原子甲核外做圆周运动的电子从第2轨道跃迁到第1轨道的过程中所释放的能量，恰好被量子数n=4的氢原子乙吸收并使其电离，即其核外在第4轨道做圆周运动的电子脱离氢原子核的作用范围。不考虑电离前后原子核的动能改变，试求氢原子乙电离后电子的动能。

Answer 1

（1）（2）①证明过程见解析②

试题分析：（1）设电子绕氢原子核在第1轨道上做圆周运动的周期为，形成的等效电流大小为，根据牛顿第二定律有                   （2分）
则有                                     （1分）
又因为                                        （2分）
有                                      （1分）
（2）①设电子在第1轨道上运动的速度大小为v₁，根据牛顿第二定律有
                                           （1分）             
电子在第1轨道运动的动能                （1分）
电子在第1轨道运动时氢原子的能量即动能和势能之和     （2分）
同理，电子在第n轨道运动时氢原子的能量（2分）
又因为    
则有  命题得证。                  （1分）
② 由①可知，电子在第1轨道运动时氢原子的能量
电子在第2轨道运动时氢原子的能量            （1分）
电子从第2轨道跃迁到第1轨道所释放的能量（2分）
电子在第4轨道运动时氢原子的能量         （1分）
设氢原子电离后电子具有的动能为，根据能量守恒有
                                               （2分）
解得                              （1分）