Question

如图（a）所示，间距为L电阻不计的光滑导轨固定在倾角为θ的斜面上．在区域I内有方向垂直于斜面的匀强磁场，磁感应强度恒为B不变；在区域Ⅱ内有垂直于斜面向下的匀强磁场，其磁感应强度B_t的大小随时间t变化的规律如图（b）所示．t=0时刻在轨道上端的金属细棒ab从如图位置由静止开始沿导轨下滑，同时下端的另一金属细棒cd在位于区域I内的导轨上也由静止释放．在ab棒运动到区域Ⅱ的下边界EF之前，cd棒始终静止不动，两棒均与导轨接触良好．又已知cd棒的质量为m，区域Ⅱ沿斜面的长度也是L，在t=t_x时刻（t_x未知）ab棒恰好进入区域Ⅱ，重力加速度为g．求：
（1）通过cd棒中的电流大小和区域I内磁场的方向
（2）ab棒开始下滑的位置离区域Ⅱ上边界的距离s；
（3）ab棒从开始到下滑至EF的过程中，回路中产生的总热量．（结果均用题中的已知量表示）

Answer 1

分析：（1）Ⅱ内磁场均匀变化，在回路中形成感应电流，根据楞次定律判断出流过cd的电流方向，然后根据平衡求出cd棒所受安培力方向，进一步根据左手定则判断磁场方向．根据导体棒处于平衡状态可知，安培力等于重力沿导轨向下分力，由此可求出通过cd棒中的电流大小和方向．
（2）棒ab进入II区域前后回路中的电动势不变，即磁场变化产生电动势与导体切割磁感线产生电动势相等，据此求出导体棒进入II时速度大小，然后根据导体棒匀加速下滑的特点即可求出结果．
（3）回路中电流恒定，根据Q=EIt可求出结果．

解答：解：（1）如图所示，cd棒受到重力、支持力和安培力的作用而处于平衡状态，由平衡条件得
   BIL=mgsinθ
解得，I=

mgsinθ

BL

可见，回路中感应电流和感应电动势保持不变．
由楞次定律可知，流过cd的电流方向为从d到c，cd所受安培力沿导轨向上，故由左手定则可知，I内磁场垂直于斜面向上．故区域I内磁场的方向垂直于斜面向上．
（2）ab进入区域Ⅱ前做匀加速运动，进入后做匀速运动，设ab刚好到达区域Ⅱ的边界的速度大小为v．
在0-t_x内，由法拉第电磁感应定律得
   E₁=

△Φ

△t

=

2B-B

tx

?L²=

BL2

tx

在t_x后：有E₂=BLv 
且 E₁=E₂           
解得：v=

L

tx

     
由s=

vtx

2

        
解得s=

L

2

故ab棒开始下滑的位置离区域Ⅱ上边界的距离为

L

2

． 
（3）ab棒进入区域Ⅱ后，ab做匀速直线运动，且t₂=t_x，
在区域Ⅱ中由能量守恒知
回路中的产生的热量为  Q₂=mgLsinθ，
由于Q₁=Q₂
得回路中的总热量  Q=2mgLsinθ
答：
（1）通过cd棒中的电流大小是

mgsinθ

BL

，区域I内磁场的方向垂直于斜面向上．
（2）ab棒开始下滑的位置离区域Ⅱ上边界的距离s是

L

2

；
（3）ab棒从开始到下滑至EF的过程中，回路中产生的总热量是2mgLsinθ．

点评：解决这类问题的关键是弄清电路结构，正确分析电路中的电流以及安培力的变化情况．