Question

5．如图所示，空间分布着图示的匀强电场E（宽度为L和匀强磁场B（两部分磁场区域的磁感应强度大小相等、方向相反），一带正电的粒子质量为m，电荷量为q不计重力），从A点由静止释放经电场加速后进人磁场，穿过中间磁场进人右边磁场后能按某一路径而返回A点重复前述过程．求中间磁场的宽度d和粒子的运动周期．（虚线为磁场分界线，并不表示有什么障碍物）

Answer 1

分析 由动能定理求出粒子的速度，粒子在磁场中由洛伦兹力充当向心力，由牛顿第二定律求出轨迹的半径．根据几何关系求解中间磁场区域的宽度；
先求出在电场中运动的时间，再求出在两段磁场中运动的时间，三者之和即可带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点所用时间．

解答 解：（1）带电粒子在电场中加速，由动能定理得：qEL=$\frac{1}{2}$mv²-0，
带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
由以上两式解得：R=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{2mEL}{q}}$，
可见在两磁场区粒子运动半径相同，如图所示：

三段圆弧的圆心组成的三角形△O₁O₂O₃是等边三角形，其边长为2R．
所以中间磁场区域的宽度为：d=Rsin60°=$\frac{1}{2B}$$\sqrt{\frac{6mEL}{q}}$；
（2）在电场中：t₁=$\frac{2v}{a}$=$\frac{2v}{\frac{qE}{m}}$=2$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$，
在中间磁场中运动时间：t₂=$\frac{1}{3}$T=$\frac{1}{3}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{2πm}{3qB}$，
在右侧磁场中运动时间：t₃=$\frac{5}{6}$T=$\frac{5}{6}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{5πm}{3qB}$，
则粒子第一次回到O点的所用时间，即周期：T=t=t₁+t₂+t₃=2$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$+$\frac{7πm}{3qB}$；
答：中间磁场区域的宽度d为$\frac{1}{2B}$$\sqrt{\frac{6mEL}{q}}$；粒子的运动周期为2$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$+$\frac{7πm}{3qB}$．

点评 本题是带电粒子在组合场中运动的问题，静止的带点粒子在电场作用下做匀加速直线运动，在磁场中做匀速圆周运动，要求同学们能画出粒子运动的轨迹，结合几何关系求解，知道半径公式及周期公式，难度适中．