Question

17．如图，固定的直杆ABC与水平地面成37°角，AB段粗糙，BC段光滑，AB长度l₁=2m，BC段的长度l₂=0.75m．质量m=1kg的小环套在直杆上，在与直杆成α角的恒力F作用下，从杆的底端由静止开始运动，当小环到达B时撤去F，此后小环飞离直杆，落地时的动能E_k=20J．（不计空气阻力，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²）
（1）求小环运动到B时的速度大小v_B；
（2）若夹角α=0°，小环在杆AB段运动时，受到恒定的阻力f=4N，其他条件不变，求F的大小；
（3）若夹角α=37°，小环在AB段运动时，受到阻力f的大小与直杆对小环的弹力F_N的大小成正比，即f=kF_N，其中k=0.5，且小环飞离轨道后，落地时的动能不大于20J，求F的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分析小环从B运动到C至落地的过程，运用机械能守恒定律列式，可求出小环运动到B时的速度大小v_B；
（2）分析小球从A运动到B的过程，由牛顿第二定律和速度位移关系公式分别列式，可求出F；
（3）当E_k=20J时F取得最大值，结合上题的结果，由牛顿第二定律求出F的最大值．当v_C=0时，F取得最小值．先研究BC段，由机械能守恒定律求出v_B，再研究AB段，由牛顿第二定律和速度位移关系公式分别列式求出F的最小值，从而得到F的范围．

解答 解：（1）B点离地面的高度 h_B=l₁sin37°=2×0.6=1.2m
物体从B点到C至落地的过程中机械能守恒，则有 $\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$+mgh_B=E_k；
代入数据解得 v_B=4m/s
（2）若夹角α=0°时，对小球进入受力分析得：
  F-f-mgsin37°=ma
又${v}_{B}^{2}$=2al₁，
以上两式代入数据解得 a=4m/s²，F=14N
（3）由题意得：
（a）当E_k=20J时，v_B=4m/s，a=4m/s²，
对于AB段，由牛顿第二定律得：
  Fcos37°-mgsin37°-k（mgcos37°-Fsin37°）=ma
代入数据解得 F=$\frac{140}{11}$N≈12.73N
（b）当v_C=0时，mgl₂sin37°=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
又${v}_{B}^{2}$=2al₁，
解得 v_B=3m/s，a=2.25m/s²．
由牛顿第二定律得：
Fcos37°-mgsin37°-k（mgcos37°-Fsin37°）=ma
解得 F=$\frac{122.5}{11}$≈11.14N
综上，F的取值范围为：11.14N＜F≤12.73N．
答：
（1）小环运动到B时的速度大小v_B是4m/s．
（2）F的大小是14N．
（3）F的取值范围为：11.14N＜F≤12.73N．

点评 解题关键是合理选择运动过程，分析小环的受力情况和能量转化情况，再利用机械能守恒定律、牛顿第二定律和运动学公式分段研究，对于AB段，也可以根据动能定理列式求F．