Question

17．如图所示，传送带与地面倾角θ=30°，从A到B长度为16m，传送带以10m/s的速率逆时针转动．在传送带上端A无初速地放一个质量为m=1kg的物体，它与传送带之间的动摩擦因数为μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，g=10m/s²．求：
（1）刚放上时，物块对传送带的压力及物块受到的摩擦力
（2）物体从A运动到B所需的时间是多少？

Answer 1

分析 （1）物体放在传送带上后，开始阶段，传送带的速度大于物体的速度，传送带给物体一沿斜面向下的滑动摩擦力，根据平衡条件求出物块与传送带的压力，根据滑动摩擦力公式求出摩擦力；
（2）物体由静止开始加速下滑，当物体加速至与传送带速度相等时，由于μ＞tanθ，物体将随传送带一起做匀速运动，根据运动学基本公式求出两段运动的时间，进而求出总时间．

解答 解：（1）刚放上时，开始阶段，传送带的速度大于物体的速度，传送带给物体一沿斜面向下的滑动摩擦力，对物体受力分析，
垂直传送带方向上有：$N=mgcos30°=1×10×\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}N$，
根据牛顿第三定律可知，物块对传送带的压力为：$N′=N=5\sqrt{3}N$，
物块受到的摩擦力为：f=$μN=\frac{\sqrt{3}}{2}×5\sqrt{3}=7.5N$，
（2）开始阶段由牛顿第二定律得：mgsinθ+μmgcosθ=ma₁ 　　
所以：a₁=gsinθ+μgcosθ=12.5m/s²
物体加速至与传送带速度相等时需要的时间为：t₁=$\frac{v}{a}=\frac{10}{12.5}=0.8s$
发生的位移为：${x}_{1}=\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}×12.5×0．{8}^{2}=4m$＜16m，所以物体加速到10m/s 时仍未到达B点，
由于$μ=\frac{\sqrt{3}}{2}＞tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，则此后物体与传送带以相同的速度一起做匀速直线运动，
匀速运动的时间为：${t}_{2}=\frac{L-{x}_{1}}{v}=\frac{16-4}{10}=1.2s$，
则从A到B的时间为：t=1+1=2s
答：（1）刚放上时，物块对传送带的压力为$5\sqrt{3}N$，物块受到的摩擦力为7.5N；
（2）物体从A运动到B所需的时间是2s．

点评 从本题可以总结出，皮带传送物体所受摩擦力可能发生突变，不论是其大小的突变，还是其方向的突变，都发生在物体的速度与传送带速度相等的时刻．